Reelles Integral mit Residuensatz

12.11.2012, 14:35	roterita	Auf diesen Beitrag antworten »
Reelles Integral mit Residuensatz Meine Frage: Hi Leute, ich möchte gerne diese reelle Integral mit dem Residuensatz lösen: $\begin{eqnarray} \int_0^{\infty} \frac{x^3}{e^x-1}dx \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich wollte eigentlich über den rechts oberen Quadranten Integrieren, doch das Problem ist ja, dass ich eine Singularität bei 0 habe und mit dem Residuensatz das Residuum garnicht bestimmen kann, da exp eine unendliche Reihe ist. Gibt es ein anderen Lösungsverfahren?
12.11.2012, 15:07	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Singularität bei $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ ist hebbar...
15.11.2012, 23:30	roterita	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, ich habe die e-Funktion als Reihe geschrieben, ausgeklammert und dann gekürzt. Aber nun habe ich eine Reihe, die ich nicht mehr als e-Fkt. schreiben kann... $\begin{eqnarray} \int_0^{\infty} \frac{x^3}{e^x-1}dx=\int_0^{\infty} \frac{x^2}{1+x/2+x^2/6+...}dx=\int_0^{\infty} \frac{x^3}{\sum_0^{\infty} \frac{x^k}{(k+1)!}}dx=\int_0^{\infty} \frac{x^2}{\sum_0^{\infty}\frac{1}{1+k}\frac{x^k}{k!}dx} \end{eqnarray}$

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