Ähnlichkeitsdifferentialgleichung

12.11.2012, 15:57	snaggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ähnlichkeitsdifferentialgleichung Meine Frage: Komme beim Lösen am Ende nicht weiter, vielleicht ist vorher auch schon was falsch Bestimmen sie für $\begin{eqnarray} x > 0 \end{eqnarray}$ die Lösung von dem Anfangswertproblem $\begin{eqnarray} x^3 + y^3 - (3xy^2)y' = 0 , y(1) = 1 \end{eqnarray}$ Substituieren sie dazu $\begin{eqnarray} \frac{y}{x} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: So dann mal los : $\begin{eqnarray} y' = \frac{x^2}{3y^2} + \frac{y}{3x}<br /> <br /> xz' = f(z) - z<br /> <br /> z' = \frac{1}{3x}(\frac{1-2z^3}{z^2})<br /> <br /> <br /> F(x) = \int_{}^{} \! \frac{1}{3x} \, dx = \frac{1}{3}ln(x) + c<br /> <br /> H(z) = \int_{}^{} \! \frac{1-2z^3}{z^2} \, dz = - \frac{z^3+1}{z} <br /> <br /> \frac{1}{3}ln(x) + c = - \frac{\frac{y_{0}^3}{x_{0}^3}+1 }{\frac{y_{0}}{x_{0}} } <br /> <br /> \Rightarrow c = - 2<br /> <br /> \end{eqnarray}$ wenn ich das c jetzt einsetze und versuche das ganze nach y(x) aufzulösen, funktioniert das leider nicht wie ich das so will. Ich stecke hier fest $\begin{eqnarray} \frac{1}{3}ln(x) -2 = -(\frac{y^2(x)}{x^2} + \frac{x}{y(x)}) \end{eqnarray}$ Tja ... Danke für jede Hilfe lg alex
12.11.2012, 17:02	Goddy	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Fehler liegt an folgender Stelle: $\begin{eqnarray} z'=\frac{1}{3x}( \frac {1-2z^3}{z^2})<br /> \end{eqnarray}$ wenn du nun z' als Ableitung von z nach x schreibst: $\begin{eqnarray} z'=\frac{dz}{dx} \end{eqnarray}$ musst du auch richtig umformen, dann kommt nämlich eine andere Funktion H(z)* heraus
12.11.2012, 17:34	snaggy	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} H(z) = \int_{}^{} \! \frac{z^2}{1-2z^3} \, dx = -\frac{1}{6}ln(\|1-2z^3\|)<br /> <br /> \frac{1}{3}ln(x) + c = - \frac{1}{6}ln(\|1-2(\frac{y^3_{0}}{x^3_{0}})\|)<br /> <br /> c = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{3}ln(x) = -\frac{1}{6}ln(\| 1 - 2\frac{y^3(x)}{x^3}\|)<br /> <br /> \sqrt[3]{x} = \frac{1}{\sqrt[6]{1-2\frac{y^3(x)}{x^3} } } <br /> <br /> x^2 = \frac{1}{1-2\frac{y^3(x)}{x^3} } <br /> <br /> x^2 - \frac{2y^3(x)}{x} = 1<br /> <br /> x^2 - 1 = \frac{2y^3(x)}{x} <br /> <br /> x^3 - x = 2y^3(x)<br /> <br /> y^3(x) = \frac{x^3-x}{2} <br /> <br /> y(x) = \sqrt[3]{\frac{x^3-x}{2} } <br /> \end{eqnarray}$ Da muss immer noch was falsch sein ^^

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »