Ungleichung mit e beweisen

12.11.2012, 17:28

Rosa_Plüschritter94

Ungleichung mit e beweisen

Hallo

Ich hatte die Aufgabe bekommen, folgende Ungleichung zu beweisen:

$\begin{eqnarray*} e^{x} \geq 1+x \end{eqnarray*}$ mit x Element der reellen Zahlen.

Ich dachte mir nun, dass ich das ganze über eine vollständige Induktion beweise. Ich habe also erst einmal den Induktionsanfang gemacht.
IA: $\begin{eqnarray*} e^{0} = 1 \geq 1 = 1+0 \end{eqnarray*}$

Das stimmt also. Daher kann man annehmen, dass die Induktionsvoraussetzung wahr ist.
IV: $\begin{eqnarray*} e^{x} \geq 1+x \end{eqnarray*}$

Nun gehe ich zum Induktionsschritt über:
IS: $\begin{eqnarray*} e^{x+1} \geq 2+x \end{eqnarray*}$

Außerdem erhöhe ich die Induktionsvoraussetzung beidseitig um 1.
$\begin{eqnarray*} e^{x} +1 \geq 2+x \end{eqnarray*}$

Nun stelle ich folgende Behauptung auf:
$\begin{eqnarray*} e^{x+1} \geq e^{x} +1 \end{eqnarray*}$

Diese Behauptung muss ich natürlich beweisen:
$\begin{eqnarray*} e^{x} *e \geq e^{x} +1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (e^{x} *e) - e^{x} \geq 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{x} *(e - 1) \geq 1 \end{eqnarray*}$

Da der Ausdruck $\begin{eqnarray*} e^{x} \end{eqnarray*}$ größer gleich 1 ist und auch der Ausdruck $\begin{eqnarray*} (e - 1) \end{eqnarray*}$ größer gleich 1 ist, gilt: Wenn man zwei Zahlen größergleich 1 miteinander multipliziert, ist das Ergebnis auch größer gleich 1.

Die Behauptung $\begin{eqnarray*} e^{x+1} \geq e^{x} +1 \end{eqnarray*}$ gilt also.

Daraus folgt nun:
$\begin{eqnarray*} e^{x+1} \geq e^{x} +1 \geq 2+x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{x+1} \geq 2+x \end{eqnarray*}$

Damit gilt also auch der Induktionsschritt und die Ungleichung ist bewiesen.

Meine Frage: Kann man das so machen oder haben sich da Fehler eingeschlichen?

12.11.2012, 17:32

Monoid

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RE: Ungleichung mit e beweisen
Richtig. smile

Und schönen Tag noch!

12.11.2012, 17:35

Iorek

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RE: Ungleichung mit e beweisen

Zitat:

Original von Mathemathemathe
Richtig. smile

Und schönen Tag noch!

Das ist so nicht richtig. Eine vollständige Induktion über reelle Zahlen ist in diesem Sinne mit dem Übergang von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} x+1 \end{eqnarray*}$ nicht möglich!

@Plüschritter, wie habt ihr $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ denn definiert?

12.11.2012, 17:50

Rosa_Plüschritter94

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RE: Ungleichung mit e beweisen
Wir haben geschrieben, dass e (Eulersche Zahl):

lim (1+(k/n))^n = e^k mit n€Natürliche Zahlen

Falls du das meinst?

12.11.2012, 17:54

Iorek

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So etwas meinte; also habt ihr die Definition über den Folgengrenzwert gemacht (Nebenbemerkung: eine mögliche Definition ist auch $\begin{eqnarray*} e:=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac 1{n!} \end{eqnarray*}$ ).

Guck dir mal die Bernoullische Ungleichung an, damit lässt sich der Beweis leicht führen.

12.11.2012, 18:09

Rosa_Plüschritter94

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Mir ist grad ein fehler aufgefallen. x ist Element der natürlichen Zahlen und NICHT der reellen.

Dann müsste der Beweis ja funktionieren oder?

12.11.2012, 19:37

Iorek

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Also lautet die Aufgabe korrekt:

Zeigen sie für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} e^x\geq 1+x \end{eqnarray*}$ ?

Mir würde zumindest das $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ zu denken geben, "normalerweise" verwendet man $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ für natürliche Zahlen.

Unter den Umständen wäre es natürlich über vollständige Induktion möglich, allerdings unnötig umständlich, da die Bernoullische Ungleichung die Aussage sofort liefert (das tut sie auch im reellen Fall, allerdings ist da eine kleine Zusatzüberlegung für $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ nötig).

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