Zeilen von Matrix P mit anderer Matrix austauschen

12.11.2012, 18:44

UniBremer

Zeilen von Matrix P mit anderer Matrix austauschen

Meine Frage:
Ist ne Zusatzaufgabe bei Mathe-Übungszetteln:

Geben Sie die Matrix P an, die auf eine beliebige 7x7 Matrix Q angewendet die dritte und sechste Spalte (Zeile) vertauscht. --> X
Begründen Sie ihre Antwort.

Meine Ideen:
Habe eine Beispielmatrix gemacht, in der alle Zahlen außer der dritten und sechsten Spalte 0 sind. Dann die Ergebnismatrix aufgeschrieben, in der die Einträge von Spalte (Zeile) 3 und 6 vertauscht sind.
Ich denke, dass man die Einträge der Matrix P in einem bestimmten Muster anordnen, und diese auf jeden Fall mit dem Betrag ihrer Spalte (Zeile) malnehmen muss, sodass man insgesamt auf 1 kommt. Jetzt muss man den weiteren Koeffizienten finden, um X zu bekommen, Stichwort Einheitsvektor.

14.11.2012, 09:38

Reksilat

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RE: Zeilen von Matrix P mit anderer Matrix austauschen
Hallo UniBremer,

Zitat:

Geben Sie die Matrix P an, die auf eine beliebige 7x7 Matrix Q angewendet...

Ist es bei Euch üblicher Sprachgebrauch, dass man eine Matrix auf eine andere "anwendet"? Wenn nicht, so würde ich diese Ungenauigkeit mal ansprechen.

Letztlich geht es aber wohl darum, die Matrix $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ von rechts (für die Spalten) bzw. links (für die Zeilen) mit $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ zu multiplizieren.

Die Aufgabenstellung legt dabei ja nahe, dass es genau eine solche Matrix $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ gibt, um für beliebiges $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ die Spalten zu vertauschen. Insbesondere kannst Du Dir also mal ein festes $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ raussuchen (hast Du ja sogar schon gemacht) und dann die gewünschte Gleichung aufstellen. Wenn nun $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ invertierbar ist, kannst Du die Gleichung einfach nach $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ umstellen.
Dabei ist ein möglichst leicht zu invertierendes $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ natürlich von Vorteil. Augenzwinkern

Anschließend prüfen, dass das so gewonnene $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ auch wirklich die gewünschte Eigenschaft für beliebiges $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ hat.

Gruß
Reksilat

14.11.2012, 14:30

UniBremer

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Jo, vielen Dank.

Die Lösung ist, die elementar umgeformte Einheitsmatrix (in dem Fall dein Q) von links bzw. rechts auf die beliebige Matrix P anzuwenden, um Zeilen bzw. Spalten zu vertauschen.
Vorausgesetzt muss sein, dass P mal Einheitsmatrix = P ist.
Dann kann man in der Einheitsmatrix die 1 der betreffenden Spalten vertauschend, um dann von links bzw. rechts mal P das gewünschte Matrixprodukt zu erstellen.

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