Menge der injektiven Abbildungen f: M--> N

12.11.2012, 20:14

injektive

Menge der injektiven Abbildungen f: M--> N

Meine Frage:
Zu zeigen ist, dass die Menge der injektiven Abbildungen f: M -> N
Fall 1: =0 falls m > n
Fall 2: $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{(n-m)!} \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} m \leq n \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Für Fall 1 ist das ja eigentlich ganz einfach, da für eine surjektive Abbildung gelten muss, dass für alle n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ein m $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ existiert, so dass f(m)=n. Also können wir n Element von M auf je ein n $\begin{eqnarray*} \in N \end{eqnarray*}$ abbilden und bekommen somit eine surjektive Abbildung. Sobald m aber ein Element mehr enthält, muss dieses auf ein n abgebildet werden, das bereits "belegt" ist, also wir mindestens ein n doppelt getroffen und es kann keine surjektive Abbildung geben.
Aber wie drück ich das nun mathematisch aus?

Fall 2:
Ich hab doch für m1 insgesamt n-Abbildungsmöglichkeiten, für m2, dann nur noch n-1 Abbildungsmöglichkeiten (da ein n \in N ja bereits "belegt" ist und so weiter. Für das nte m besteht dann nur noch eine Abbildungsmöglichkeit. Also habe ich doch insgesamt (k-n) *n! surjektive Abbildungsmöglichkeiten?!? Kann mir jemand sagen, wo mein Denkfehler liegt?
Danke :-)

12.11.2012, 20:24

Dopap

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2.) m<n

wenn M und N als Tupel gesehen werden, dann ist die Menge der injektiven Abbildungen eine Variation ohne Zurücklegen.

12.11.2012, 20:30

injektive

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Hm, hab ich nicht genau das gemacht???

Aber dann müsste ja gelten, dass die Menge der Abbildungen $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} m \\ n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{(n-m)!m!} \end{eqnarray*}$ ist... wo bleibt dann mein m! im Nenner?!?

12.11.2012, 21:29

Dopap

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Zitat:

Original von injektive

Aber dann müsste ja gelten, dass die Menge der Abbildungen $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} m \\ n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{(n-m)!m!} \end{eqnarray*}$

Obiges ist die Anzahl der Kombinationen ohne Zurücklegen = Anzahl der Teilmengen.
Hier ist aber die Anzahl der Permutationen in jeder Teilmenge = m! zu berücksichtigen.

Also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} m \\ n \end{pmatrix} \cdot m! =\frac{n!}{(n-m)!m!} \cdot m! \end{eqnarray*}$

12.11.2012, 22:10

injektive

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hm ok habs glaub so einigermaßen verstanden, aber kann man das nicht vllt auch ohne binominalkoeffizienten beweisen?

12.11.2012, 22:59

injektive

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Ist denn eigentlich mein Beweis für Fall1 ok?