Beweis Fibonnaci-Folge mit Alpha und Beta

12.11.2012, 20:48

fibonacci alpha beta

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Beweis Fibonnaci-Folge mit Alpha und Beta

Meine Frage:
Es sei $\begin{eqnarray*} \alpha ,\beta \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \beta <\alpha \end{eqnarray*}$ die zwei Lösungen der Gleichung $\begin{eqnarray*} x^{2} - x- 1 =0 \end{eqnarray*}$ . Werte dieser Zahlen spielen keine Rolle, außer $\begin{eqnarray*} \alpha \neq \beta \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha \geq 1 \end{eqnarray*}$ .
Zeige dass für alle n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} f_{n} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{\alpha ^{n} -\beta ^{n} }{\alpha -\beta } \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich hab es mit vollständige Induktion versucht.
Den Induktionsanfang habe ich bereits.
Ich nehme nun an es gilt für ein n und möchte es für n+1 zeigen.

$\begin{eqnarray*} f_{n+1} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} f_{n} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} f_{n-1} \end{eqnarray*}$
nach Annahme gilt dann:
$\begin{eqnarray*} \frac{\alpha ^{n} -\beta ^{n} }{\alpha -\beta } \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} f_{n-1} \end{eqnarray*}$

so und weiter komm ich nicht unglücklich

unglücklich

12.11.2012, 20:50

Mystic

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RE: Beweis Fibonnaci-Folge mit Alpha und Beta
Induktionsannahme ist hier, dass es für alle Indices $\begin{eqnarray*} \le n \end{eqnarray*}$ schon bewiesen wurde...

12.11.2012, 21:02

fibonacci alpha beta

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wieso das denn? ich habs doch nur für $\begin{eqnarray*} f_{n} \end{eqnarray*}$ angenommen, oder? kann ich dann einfach für $\begin{eqnarray*} f_{n-1} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{\alpha ^{n-1} -\beta ^{n-1} }{\alpha -\beta } \end{eqnarray*}$ einsetzen?!

12.11.2012, 21:44

Mystic

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RE: Beweis Fibonnaci-Folge mit Alpha und Beta
Nicht kleckern, sondern klotzen! Zumindestens für die Indices n und n-1 wirst du die Richtigkeit der Formel wohl voraussetzen müssen... Wie willst du sonst dein schwerstes Geschütz, namlich die Rekursion $\begin{eqnarray*} f_{n+1}=f_n+f_{n-1} \end{eqnarray*}$ in Stellung bringen? verwirrt

verwirrt

12.11.2012, 22:02

fibonacci alpha beta

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und das darf ich einfach so annehmen?? also so hab ich induktion noch nie gesehen. Ich dachte man muss immer nur annehmen das es für EIN n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt verwirrt

verwirrt

Gibts denn eigentlich vllt auch noch ne andere Möglichkeit das zu beweisen?? Mir fällt nichts ein...

12.11.2012, 22:06

fibonacci alpha beta

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und selbst wenn, ist denn:

$\begin{eqnarray*} \frac{\alpha ^{n} -\beta ^{n} }{\alpha -\beta } \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{\alpha ^{n-1} -\beta ^{n-1} }{\alpha -\beta } \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{\alpha ^{n+1} -\beta ^{n+1} }{\alpha -\beta } \end{eqnarray*}$

bin grad etwas verwirrt

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12.11.2012, 22:19

Mystic

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Erstens muss du nur deine Induktionsbehauptung A(n) ein bißchen modifizieren, nämlich so:

Die Formel stimmt für den Index n und sie stimmt auch für den Index n-1.

Das ist doch eine Behauptung über n, oder siehst du das anders???

Zweitens geht das dann sehr wohl, wenn du nur konsequent verwendest, dass $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ Lösungen von x²=x+1 sind...

12.11.2012, 22:31

fibonacci alpha beta

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$\begin{eqnarray*} \alpha = \frac{1+\sqrt{5} }{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta = \frac{1-\sqrt{5} }{2} \end{eqnarray*}$
Stimmt das so? (Habs mit Mitternachtsformel berechnet)
Aber warum ist dann $\begin{eqnarray*} (\alpha = \frac{1+\sqrt{5} }{2})^{n} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} (\alpha = \frac{1+\sqrt{5} }{2})^{n-1} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} (\alpha = \frac{1+\sqrt{5} }{2})^{n+1} \end{eqnarray*}$
Sorry, aber kappier ich nicht..

12.11.2012, 22:35

fibonacci alpha beta

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kann ich vielleicht das ganze umschreiben als $\begin{eqnarray*} f_{n-1}=f_{n+1}-f_n \end{eqnarray*}$
bringt das was?

12.11.2012, 22:37

Mystic

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Zitat:

Original von fibonacci alpha beta
$\begin{eqnarray*} \alpha = \frac{1+\sqrt{5} }{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta = \frac{1-\sqrt{5} }{2} \end{eqnarray*}$

Oh Gott, nein!!! Finger1

Finger1

Du sollst verwenden, dass gilt $\begin{eqnarray*} \alpha^2=\alpha+1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta^2=\beta+1 \end{eqnarray*}$ und um Gotteswillen nirgends, aber auch wirklich nirgends Wurzelausdrücke!!!

12.11.2012, 22:55

fibonacci alpha beta

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Ok! Aber wie und wo kann ich das denn verwenden?!? ICh blicks glaub echt kein bisschen.. unglücklich

unglücklich

12.11.2012, 23:01

Mystic

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Rechne die linke Seite(!) von

Zitat:

Original von fibonacci alpha beta

$\begin{eqnarray*} \frac{\alpha ^{n} -\beta ^{n} }{\alpha -\beta } \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{\alpha ^{n-1} -\beta ^{n-1} }{\alpha -\beta } \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{\alpha ^{n+1} -\beta ^{n+1} }{\alpha -\beta } \end{eqnarray*}$

aus und versuche auf die rechte Seite zu kommen...Verwende dabei, wie gesagt, dass $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ beides Lösungen von x²=x+1 sind (ohne diese aber wirklich zu berechnen!!!)...

12.11.2012, 23:12

fibonacci alpha beta

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Sorry, ich kriegs nicht hin... woher bekomm ich denn $\begin{eqnarray*} \alpha^2=\alpha+1 \end{eqnarray*}$

12.11.2012, 23:42

Mystic

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Zitat:

Original von fibonacci alpha beta
woher bekomm ich denn $\begin{eqnarray*} \alpha^2=\alpha+1 \end{eqnarray*}$

Darf ich dich daran erinnern, dass dein Eingangsposting folgendermaßen beginnt (Hervorhebung durch mich):

Zitat:

Original von fibonacci alpha beta
Meine Frage:
Es sei $\begin{eqnarray*} \alpha ,\beta \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \beta <\alpha \end{eqnarray*}$ die zwei Lösungen der Gleichung $\begin{eqnarray*} \textcolor{red}{ x^{2} - x- 1 =0} \end{eqnarray*}$ .

Und da stellst du dann so eine Frage? geschockt

geschockt

12.11.2012, 23:54

fibonacci alpha beta

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Sorry, aber ja, ich kappiers wirklich nicht. Hab sowas davor noch nie gemacht.
das aus $\begin{eqnarray*} { x^{2} - x- 1 =0} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ als Lösung $\begin{eqnarray*} \alpha^2=\alpha+1 \end{eqnarray*}$ folgt ist mir schon klar, aber ich hab keine Ahnung wie ichs anwenden kann.

13.11.2012, 00:05

Mystic

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Ich sag's zum letzen Male (und nein, ich werde es nicht vorrechnen, denn solche Termumformungen sind Schulmathematik und haben nichts in der Hochschulmathematik verloren!), dass du

$\begin{eqnarray*} \frac{\alpha ^{n} -\beta ^{n} }{\alpha -\beta } \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{\alpha ^{n-1} -\beta ^{n-1} }{\alpha -\beta } \end{eqnarray*}$

umformen musst, wobei du nur $\begin{eqnarray*} \alpha^2=\alpha+1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta^2=\beta+1 \end{eqnarray*}$ verwenden darfst, solange, bis

$\begin{eqnarray*} \frac{\alpha ^{n+1} -\beta ^{n+1} }{\alpha -\beta } \end{eqnarray*}$

dabei herauskommt...

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