Gonimetrische Gleichung

12.11.2012, 22:15	Ricster	Auf diesen Beitrag antworten »
Gonimetrische Gleichung Meine Frage: Ich habe folgende Gleichung $\begin{eqnarray} \sin(2x) +2\cos(2x) =1 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: meine lösung der gleichung wären da x1= 45° ; X2= 18,43° Intervall ist 0-360°, im skript sind die lösungen x1=45^+k360°; x2=225°+k360° ;x3=161,57^+k360° ;x4=341,57°+k360° angeben. ich geh jetzt mal davon aus, dass ich richtig gerechtnet hab den bsp sind meine 18,43°-180°=161,57°; meine frage jetzt warum werden meine 18,43° von 180° abgezogen?warum überhaupt von 180°? das intervall geht ja bis 360° und woran erkenne ich, das ich von 180 abziehen bzw draufrechnen muss? danke im vorraus( ich hoffe das meine problemstellung verständlich ist^^)
14.11.2012, 17:07	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Es kommt darauf an, wie du gerechnet hast. Wenn im Verlauf quadriert wurde, kann es sein, dass nicht alle Resultate auch Lösungen der Gleichung sind. Und da arcsin - bzw. arccos - Funktionen immer mehrdeutig sind, muss auch überprüft werden in welchem Quadranten die erhaltenen Winkel zutreffend sind. Du musst daher alle Lösungen durch Einsetzen verifizieren. Die angegebene Gleichung kann leicht so umgeformt werden, dass KEINE Wurzeln entstehen und somit nicht quadriert werden muss. Setze dazu rechts anstatt 1 den trigonometrischen Pythagoras: $\begin{eqnarray} 2 \sin x \cos x + 2 \cos^2 x - 2 \sin^2 x = \sin^2 x + \cos^2 x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3 \sin^2x - 2 \sin x \cos x - \cos^2x = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (3 \sin x + \cos x) \cdot (\sin x - \cos x) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \to \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \tan x = - \frac 1 3 \ \text{oder} \ \tan x = 1 \end{eqnarray}$ Durch den Übergang auf die Tangensfunktionen vermeidet man die Mehrdeutigkeit, welche enstehen würde, wenn beim Nullsetzen der beiden Faktoren auf sin oder cos übergangen wird, denn dazu müsste - wegen der Wurzel - quadriert werden. Man sieht an den arc-tangens Werten sofort, dass erstens bei - 1/3 der Winkel im 2. oder 4. Quadranten und zweitens bei 1 im 1. oder 3. Quadranten liegen muss. mY+
15.11.2012, 20:32	Ricster	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gonimetrische Gleichung Danke erstmal, mit dem tangens hatte ich auch erst gedacht, hab nur keinen weg gefunden wie ich dort hinkomme, deswegen den weg wie du zu dieser gleichung: $\begin{eqnarray} (3 \sin x + \cos x) \cdot (\sin x - \cos x) = 0 \end{eqnarray}$ hab ich verstanden aber wie kommst du davon auf tangens?
17.11.2012, 12:39	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei beiden Teilgleichungen jeweis durch cos x (ungleich Null) dividieren (!). Was ist dann sin(x)/cos(x) ? mY+

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