Gruppen: Umstellung nach einer Variable

12.11.2012, 21:21

Naryxus

Gruppen: Umstellung nach einer Variable

Hallo,

ich stehe vor folgendem Problem:

Sei $\begin{eqnarray*} (G, n,\cdot) \end{eqnarray*}$ eine Gruppe.
Es gelte $\begin{eqnarray*} x\cdot y\cdot \overline{z}\cdot w = n \end{eqnarray*}$ . Man soll die Gleichung nach y auflösen.
Ich bezweifele aber, dass es sich bei $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ tatsächlich um die Multiplikation in einem Zahlensystem handelt. Deshalb kann ich ja auch schlecht einfach "teilen".

Meine Ansätze sind folgende:
Da ja das neutrale Element herauskommt, habe ich mir überlegt, dass $\begin{eqnarray*} \overline{z}\cdot w = \overline{x\cdot y} \end{eqnarray*}$ ist. Allerdings hilft mir das auch nicht wirklich weiter, da ich dann immer noch nicht die Seiten der Gleichung wechseln kann.

Eine andere Idee wäre einfach z.b. zuerst $\begin{eqnarray*} \overline{w} \end{eqnarray*}$ auf jeder Seite zu verknüpfen. Das heißt ich erhalte dadurch:
$\begin{eqnarray*} x\cdot y\cdot \overline{z}\cdot w = n \Leftrightarrow x\cdot y\cdot \overline{z} \cdot w \cdot \overline{w} = n\cdot \overline{w} \end{eqnarray*}$
Dadurch könnte ich dann immer weiter die Variablen "wegkürzen", da ja auf der linken Seite immer das neutrale Element entsteht.
Aber kann ich das so einfach machen?
Und bekomme ich dann nicht spätestens bei dem Punkt $\begin{eqnarray*} x\cdot y \end{eqnarray*}$ Probleme, da mit keinem Wort gesagt wurde, dass die Gruppe abelsch ist und ich damit nicht x und y vertauschen kann und somit auch kein neutrales Element erstellen kann?
Oder kann ich dann auch erstmal y "wegkürzen", dann bei x weitermachen, dann hab ich ja letztendlich das neutrale Element auf der linken Seite und das teile ich dann wieder auf in $\begin{eqnarray*} y\cdot \overline{y} \end{eqnarray*}$ und bringe dann noch das inverse von y auf die rechte Seite?

Bitte um Hilfe! Danke und Grüße, Naryxus

12.11.2012, 21:32

Mystic

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RE: Gruppen: Umstellung nach einer Variable

Zitat:

Original von Naryxus
Es gelte $\begin{eqnarray*} x\cdot y\cdot \overline{z}\cdot w = n \end{eqnarray*}$ . Man soll die Gleichung nach y auflösen.

Rechne mal

$\begin{eqnarray*} \bar x \cdot (x\cdot y\cdot \overline{z}\cdot w) \cdot \bar w \cdot z \end{eqnarray*}$

aus und staune! Augenzwinkern

12.11.2012, 21:40

Naryxus

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RE: Gruppen: Umstellung nach einer Variable
geschockt

Ich Depp! Danke!!!
Das muss ich dann einfach auf der anderen Seite dazuknüpfen oder? Ist da die Reihenfolge entscheidend?

Grüße!

12.11.2012, 21:49

Mystic

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RE: Gruppen: Umstellung nach einer Variable
Ja, die gleichen Operationen (und von der gleichen Seite her, d.h., entweder von links oder von rechts, je nachdem!) musst du auch auf n anwenden, um auf den Wert für y zu kommen... Reihenfolge ist wichtig, außer in kommutativen Gruppen...

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