Inverse Blockmatrix

12.11.2012, 22:39	chrissan	Auf diesen Beitrag antworten »
Inverse Blockmatrix Hallo, gegeben sei folgende Matrix $\begin{eqnarray} B=\begin{vmatrix} A_1 & A_2 \\ A_2 & A_1\end{vmatrix} \end{eqnarray}$ , bestehend aus den regulären Matizen $\begin{eqnarray} A_1 & A_2 \in R^{nxn} \end{eqnarray}$ . a) Es soll die Blockmatrix $\begin{eqnarray} B^{-1} \end{eqnarray}$ blockweise bestimmt werden. b) Das GLS $\begin{eqnarray} H\begin{vmatrix} x \\ y\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} c \\ d\end{vmatrix} \end{eqnarray}$ soll mittels LR-Zerlegung gelöst werden. ( $\begin{eqnarray} x, y, c, d \in R^n \end{eqnarray}$ c) Es soll gezeigt werden, dass wenn $\begin{eqnarray} A_1 & A_2 \end{eqnarray}$ symmetrisch pos. definit sind, dann auch B symmetrisch und pos. definit ist Ideen: a) Die Inverse muss laut Aufgabenstellung auch wieder eine Blockmatrix sein. Demnach kommt fast nur so etwas wie $\begin{eqnarray} B^{-1}=\begin{vmatrix} A_1^{-1} & A_2^{-1} \\ A_2^{-1} & A_1^{-1}\end{vmatrix} \end{eqnarray}$ in Frage. Stellt man sich das Produkt $\begin{eqnarray} B \cdot B^{-1} =I \end{eqnarray}$ vor, so muss wohl noch ein Faktor $\begin{eqnarray} 1/2 \end{eqnarray}$ davor, aber ich habe immer sehr große Schwierigkeiten damit, so etwas allgemein zu zeigen. b) (würde ich erstmal hinten anstellen...) c) Vorstellen, oder für n=2 bzw 3 -Matrizen kurz nachrechnen, gelingt schnell und einfach für die Symmetrie. Aber ein (allgemeiner) Beweis dazu fällt mir absolut nicht ein. Wäre allerdings (a) allgemein gezeigt, so dürfte auch diese Aufgabe gelöst sein. Zum Beweis, dass das ganze pd ist, fällt mir leider auch nichts sinnvolles ein.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »