Lin. Abbildung in dem Vektorraum der Polynome

12.11.2012, 23:57

Anahita

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Lin. Abbildung in dem Vektorraum der Polynome

Hi

Und noch eine weitere Frage meinerseits:

Sei P^n(R) der Vektorraum aller Polynome von Grad n mit reellen Koeffizienten.
a) Zeigen Sie dass F : P^n -> P^n(R)
p -> p'' + p'
eine lineare Abbildung ist, wobei p' die Ableitung von p bezeichnet.
b) Bestimmen Sie die Matrix von F bezüglich der Basis (1 , x, . . . , x^n) von P^n(R).
c) Berechnen Sie den Rang von F.

Meine Ansätze/Lösungen:

Bei a) wurde uns gesagt, können wir bereits annehmen, dass die Ableitung linear ist.
Dann weiss ich aber gar nicht mehr, was alles gross lösen:

f(p + q) = p'' + p' + q'' + q' = f(p) + f(q), für p,q aus dem entsprechenden VR - analog für Skalarmultiplikation. Oder entgeht mir da was?

Bezüglich b): Die Matrix sieht für mich so aus:

$\begin{eqnarray*} (a_{i,j})_{i,j} = (i-1)x^{i-2} + (i-1)(i-2)x^{i-3} \end{eqnarray*}$

für i = j und 0 sonst.
Stimmt das und kann ich das so hinschreiben.

c) der rand ist stets der volle Rang, dh n..?

Danke

13.11.2012, 02:18

zweiundvierzig

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Zu a) hast Du Dir schon richtige Gedanken gemacht, aber Du solltest das noch ausführlicher aufschreiben und begründen:
$\begin{eqnarray*} f(p+q)=(p+q)'' + (p+q)' = \ldots \end{eqnarray*}$

Zu b): Zunächst hat eine Matrix Einträge aus dem Grundkörper. Du solltest also $\begin{eqnarray*} P_n(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ mit einem reellen Standardraum identifzieren (sollte nicht schwer sein) um dann eine entsprechende quadratische Abbildungsmatrix zu erhalten. Dann überlegen wir uns, wie diese Matrix aussieht.

Zu c): Das kann nicht stimmen. Überlege Dir das mal für die erste Ableitung: Diese macht aus einem Polynom des Grads $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ein Polynom welchen Grads? Wie sieht also das Bild der Ableitungsabbildung aus?

Alternativ kannst Du Dir überlegen, warum aufgrund bereits gewohnten Tatsachen die Kern nichttrivial ist, womit das Bild ebenso wenig der ganze Raum sein kann.

13.11.2012, 02:44

Anahita

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zu a) ->ja aber es wurde uns gesagt, dass wir die linearität der ableitung annehmen dürfen, deshalb gibts ja für (p+q)' = p' + q' nicht mehr viel zu begründen..oder?

b), ok die Basis wäre dann in R^n einfach (1,0,...0) für 1 und (0,1,....0) für x etc.?

Aber wo steht denn, dass ich diese Identifizierung mit einem reellen Standardraum benötige? Eine Abbildungsmatrix kann man doch für beliebige Basen angeben?

13.11.2012, 10:38

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Anahita
zu a) ->ja aber es wurde uns gesagt, dass wir die linearität der ableitung annehmen dürfen, deshalb gibts ja für (p+q)' = p' + q' nicht mehr viel zu begründen..oder?

Ja, das bedeutet, Du musst die Linearität der ersten Ableitung nicht extra beweisen. Dennoch musst Du die Lineariät von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ schon genau begründen. Schreib die Umformung nochmal mit allen nötigen Zwischenschritten auf.

Zitat:

Original von Anahita
b), ok die Basis wäre dann in R^n einfach (1,0,...0) für 1 und (0,1,....0) für x etc.?

Aber wo steht denn, dass ich diese Identifizierung mit einem reellen Standardraum benötige? Eine Abbildungsmatrix kann man doch für beliebige Basen angeben?

Ja, eine Matrix kann man zu beliebigen Basen angeben, aber dabei sind die Einträge als Koordinaten bezüglich die entsprechenden Basis gegeben, d.h. als Einträge aus dem Grundkörper. Selbiges gilt für die Vektoren, auf die man die Darstellungsmatrix anwendet.

Die von Dir angegebene Koordinatendarstellungen für die Basis ist richtig. Wie geht es weiter?

14.11.2012, 20:27

Anahita

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sorry, ich hab da echt wissenslücken, weil wir die aufgabe erhalten haben, und meiner meinung nach die theorie dahinter noch gar nicht richtig behandelt haben!
ich stelle einfach weitere blöde fragen bis ichs kapier:

Also einerseits kann man eine Abbildungsmatrix für jede Matrix finden - andererseits kann man das für (1,x,x^2,...) doch nicht, da man ja sonst natürlich nicht sinnvoll Matrixrechnungen etc durchführen kann. Also ist zwingend ein Basiswechsel in die Standardbasisvektoren von R^n notwendig - oder?

Und als nächstes: Es heisst doch, die Spalten der Matrix sind die Bilder der Einheitsvektoren - dh F(e_1) - aber F(1,0,0,...) gibt mir ja nichts intelligentes?

>.>

Danke!

14.11.2012, 23:33

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Anahita
ich stelle einfach weitere blöde fragen bis ichs kapier:

So muss man's auch machen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von Anahita
Also einerseits kann man eine Abbildungsmatrix für jede Matrix finden

Basisabhängig -- ja.

Zitat:

Original von Anahita
andererseits kann man das für (1,x,x^2,...) doch nicht, da man ja sonst natürlich nicht sinnvoll Matrixrechnungen etc durchführen kann. Also ist zwingend ein Basiswechsel in die Standardbasisvektoren von R^n notwendig - oder?

Naja, so würde ich das vielleicht nicht formulieren. Die Theorie von Abbildungsmatrizen dient eben dazu, Koordinaten zu transformieren. Und Koordinaten sind eben $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -Tupel von Skalaren, d.h. Vektoren aus dem Standardraum $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ . Eigentlich steht alles bei Wikipedia: Koordin
atendarstellungen von linearen Abbildungen. Guck Dir auch mal das Diagramm aus dem nächsten Abschnitt im Artikel an.

Zitat:

Original von Anahita
Und als nächstes: Es heisst doch, die Spalten der Matrix sind die Bilder der Einheitsvektoren - dh F(e_1) - aber F(1,0,0,...) gibt mir ja nichts intelligentes?

Mit Bildern ist hier auch wieder die Koordinatendarstellung gemeint. Um es ganz Konkret zu machen:
Sei $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ die erste Ableitung, d.h. $\begin{eqnarray*} \varphi(f) = f' \end{eqnarray*}$ . Bezüglich der reellen Standardbasis hat $\begin{eqnarray*} f = \sum_{i = 1}^n a_i X^i \end{eqnarray*}$ die Koordinatendarstellung $\begin{eqnarray*} [f] = (a_0, \ldots, a_n)^T \end{eqnarray*}$ . Es gilt $\begin{eqnarray*} [\varphi(f)] = (a_1,2a_2,\ldots,n a_n, 0)^T \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} A = [\varphi] \end{eqnarray*}$ , d.h. die darstellende Matrix von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ bezüglich der Standardbasis. Dann gilt $\begin{eqnarray*} [\varphi(f)] = A\cdot[f] \end{eqnarray*}$ . Wie muss $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ aussehen?

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24.11.2012, 13:48

Anahita

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Hi

(ich hab mittlerweile den wiki-Artikel und auch die entsprechenden Abschnitte im Fischer gelesen..richtig gut fand ich aber die Erklärung in Artins "Algebra").

Nochmals von vorne:

Jeder n-dimensionale Vektorraum ist isomorph zu K^n. Das heisst auch, dass wir für die Basisvektoren von P^n isomorphe Basis-Vektoren von K^n angeben können (sagt man das so?). Wie weiss ich überhaupt, dass sich die Basisvektoren von P^n mit : (1,x,x^2,...,x^n) als
(1,0,...0); (0,1,0,...0) etc schreiben lassen?

Kann man dafür auf eine Abbildungsmatrix zurückgreifen mit:

(p1...pn) = (v1...vn) * A

wobei p_i die Basisvektoren von P^n und v_i die von K^n sind und A die Abbildungsmatrix ist?

Danke :-)

24.11.2012, 13:58

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Anahita
Jeder n-dimensionale Vektorraum ist isomorph zu K^n. Das heisst auch, dass wir für die Basisvektoren von P^n isomorphe Basis-Vektoren von K^n angeben können (sagt man das so?).

Deine Idee ist richtig, allerdings nennt man Vektoren nicht isomorph zueinander. Eher: Isomorphismen bilden Basen auf Basen ab.

Zitat:

Original von Anahita
Wie weiss ich überhaupt, dass sich die Basisvektoren von P^n mit : (1,x,x^2,...,x^n) als
(1,0,...0); (0,1,0,...0) etc schreiben lassen?

Ist $\begin{eqnarray*} v = \sum_{i = 1}^n \alpha_i v_i \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} B := \{v_1,\ldots,v_n\} \end{eqnarray*}$ eine Basis ist, dann nennt man $\begin{eqnarray*} [v]_B = (\alpha_1, \ldots, \alpha_n) \end{eqnarray*}$ die Koordinatendarstellung von $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ bezüglich $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ . Das ist erstmal einfach eine Definition.

Zitat:

Original von Anahita
Kann man dafür auf eine Abbildungsmatrix zurückgreifen mit:

(p1...pn) = (v1...vn) * A

wobei p_i die Basisvektoren von P^n und v_i die von K^n sind und A die Abbildungsmatrix ist?

Danke :-)

Hm, wieso willst Du Vektoren wieder in Vektoren schreiben? Wie im Fall der ersten Ableitung die Darstellungsmatrix bezüglich der Standardbasis aussieht, hab ich im letzten Post ja schon geschrieben. Genauso kann man auch die Darstellungsmatrix der zweiten Ableitung angeben. Dann bedenke, dass es um $\begin{eqnarray*} F(p) = p' + p'' \end{eqnarray*}$ geht, d.h. eine Summe linearer Abbildungen.

24.11.2012, 14:09

Anahita

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Zitat:

Original von zweiundvierzig

Zitat:

Original von Anahita
Wie weiss ich überhaupt, dass sich die Basisvektoren von P^n mit : (1,x,x^2,...,x^n) als
(1,0,...0); (0,1,0,...0) etc schreiben lassen?

Ist $\begin{eqnarray*} v = \sum_{i = 1}^n \alpha_i v_i \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} B := \{v_1,\ldots,v_n\} \end{eqnarray*}$ eine Basis ist, dann nennt man $\begin{eqnarray*} [v]_B = (\alpha_1, \ldots, \alpha_n) \end{eqnarray*}$ die Koordinatendarstellung von $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ bezüglich $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ . Das ist erstmal einfach eine Definition.

Verstehe ich nicht.
Ich sehe das so: Wir haben zwei Vektorräume V und W und eine lineare Abbildung f: V -> W. Zugleich haben wir jeweils eine Isomorphie von K^n nach V und W.
Die Abbildungsmatrix A für f bildet ja Vektoren von K^n nach K^n ab. In V und W haben wir doch aber andere Basen. Ich hatte es so verstanden, dass ich um A anzugeben, wissen muss, wie sich die Basis von V in K^n schreiben lässt - i.e. eine Basistransformation durchführen muss..nicht?
>_>

24.11.2012, 14:25

zweiundvierzig

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Du hast schon recht mit Deiner Überlegung. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Sei nochmal $\begin{eqnarray*} f(p) = p' \end{eqnarray*}$ die erste Ableitung, d.h. eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f \colon P_n(\mathbb R) \to P_n(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ . Dies ist noch völlig basisunabhängig!

Nun wählen wir die Basis $\begin{eqnarray*} B := \{1,x,\ldots,x^n\} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} P_n(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ und wollen die Abbildungsmatrix $\begin{eqnarray*} [A]_B^B \colon K^n \to K^n \end{eqnarray*}$ finden. Bezeichnet $\begin{eqnarray*} [\cdot]_B \colon P_n(\mathbb R) \to \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ die wie oben definierte Koordinatendarstellungsabbildung, dann muss gelten $\begin{eqnarray*} [A]_B^B \circ [\cdot]_B = [\cdot]_B \circ f \end{eqnarray*}$ . Das ganze wird klarer wenn Du Dir das als kommutatives Diagramm zeichnest, ähnlich dem Bild
hier. (Bloß, dass es sich nur um ein Quadrat handelt und die Zielräume in den Zeilen jeweils gleich sind.)

Edit: Definition von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ korrigiert.
Edit 2: Hier bedeutet $\begin{eqnarray*} [A]_B^B \end{eqnarray*}$ natürlich die Multiplikation mit der besagten Matrix.

24.11.2012, 22:38

Anahita

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Hi

Ich glaube, ich verstehe es so langsam. Wir haben einfach Abbildungsmatrizen, das sind Matrizen die einer linearen Abbildung zwischen beliebigen Vektorräumen entsprechen. Eine Abbildungsmatrix ist aber immer nur fest gewählte Basen angebar.
Dann haben wir Transformation/Basiswechselmatrizen. Diese kann man eigentlich auch als Abbidlungsmatrizen für die Identitätsabbildung verstehen.

Wie man rechnerisch auf diese Matrizen kommt ist eigentlich nicht allzu schwer, man schreibt zB um die Transformationsmatrix zu bestimmen die neue Basis mit Hilfe der alten und die Koordinaten bilden dann die Komponenten der Matrix.

Wenn ich einfachheitshalber nur:

f: P^2 -> P^2
mit f(p) = p' anschaue, habe ich ich die lineare Abbildung gegeben durch ihre Wirkung auf die Basisvektoren:
f(1) = 0
f(x) = 1
f(x^2) = 2x

Nun will ich die entsprechende Abbildungsmatrix bestimmen.
Ich hab mir nun überlegt, wie ich (0,1,2x) in K^3 schreiben kann und bin auf ((0,0,0),(1,0,0),(0,2,0)) gekommen (was auch die Abbildungsmatrix ist?) - aber wie macht man das systematisch?

Danke :-)

25.11.2012, 14:55

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Anahita
Ich glaube, ich verstehe es so langsam. Wir haben einfach Abbildungsmatrizen, das sind Matrizen die einer linearen Abbildung zwischen beliebigen Vektorräumen entsprechen. Eine Abbildungsmatrix ist aber immer nur fest gewählte Basen angebar.
Dann haben wir Transformation/Basiswechselmatrizen. Diese kann man eigentlich auch als Abbidlungsmatrizen für die Identitätsabbildung verstehen.

Ja, ganz genau! Die Matrix, die eine Basis $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ des Vektorraums $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ auf die Basis $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ transformiert, schreibt man dann als $\begin{eqnarray*} [\mathrm{id}_V]_B^C \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Anahita
Wie man rechnerisch auf diese Matrizen kommt ist eigentlich nicht allzu schwer, man schreibt zB um die Transformationsmatrix zu bestimmen die neue Basis mit Hilfe der alten und die Koordinaten bilden dann die Komponenten der Matrix.

Genau.

Auch Deine Lösung zum Beispiel stimmt. Du meinst, wie man allgemein Darstellngsmatrizen zu neuen Basen berechnet? Es gilt $\begin{eqnarray*} [A]_C^C =[\mathrm{id}]_C^B [A]_C^C [\mathrm{id}]_B^C \end{eqnarray*}$ .

25.11.2012, 16:38

Anahita

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Super, juhu!

Kannst du mir ev. aufschreiben, wie der Rechnungsweg ist, um zu ((0,0,0),(1,0,0),(0,2,0)) zu kommen?

25.11.2012, 17:53

zweiundvierzig

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Eigentlich so, wie Du es schon aufgeschrieben hast. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Die Spalten der Abbildungsmatrix von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bezüglich $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ müssen die Koordinatendarstellungen der Bilder der Basisvektoren aus $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ unter $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ sein, vgl. Wikipedia

Genau so bist Du ja auch auf Deine Lösung gekommen. smile

smile

Wie sieht denn die Lösung dann für $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ aus ?

25.11.2012, 18:22

Anahita

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Ok,klar.
Was die Matrix zu F wäre hab ich nicht hingeschrieben, weil das dann einfach ist:

((0,.....,0),(1,0...,0),(2,2,0,..,0)...) etc

kann ich noch ne Frage zu Abbildungsmatrizen stellen?

25.11.2012, 19:08

zweiundvierzig

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Ja, Deine Matrix sieht gut aus. smile

smile

Wie lautet Deine Frage?

25.11.2012, 19:45

Anahita

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Danke :-)

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