Vorgehen bei Grenzwerten von Reihen

13.11.2012, 08:22

Threadersteller

Auf diesen Beitrag antworten »

Vorgehen bei Grenzwerten von Reihen

Meine Frage:
Hey zusammen,

ich habe ein Problem, ich soll mehrere Hausaufgaben zum Thema Reihen und Konvergenz und Grenzwertbestimmung lösen.
Wie gehe ich vor wenn ich zu einer Reihe bereits bestimmt habe, dass sie nach dem Wurzelkriterium konvergent ist.
Wie kann ich dann den Grenzwert davon bestimmen?

Ist das abhängig davon nach welchem Kriterium ich bestimmt habe, dass die Reihe konvergent ist? Oder gibt es da mehr ein allgemeines Vorgehen?

Vielen Dank für eure Hilfe

Meine Ideen:

Ist das abhängig davon nach welchem Kriterium ich bestimmt habe, dass die Reihe konvergent ist? Oder gibt es da mehr ein allgemeines Vorgehen?

Vielen Dank für eure Hilfe

13.11.2012, 09:28

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vorgehen bei Grenzwerten von Reihen

Zitat:

Original von Threadersteller
Ist das abhängig davon nach welchem Kriterium ich bestimmt habe, dass die Reihe konvergent ist? Oder gibt es da mehr ein allgemeines Vorgehen?

Die Bestimmung des Reihenwerts im Falle der Konvergenz ist i.d.R. unabhängig davon, wie man die Konvergenz bestimmt hat. Und nein, es gibt kein allgemeines Verfahren zur Bestimmung des Reihenwerts, das kann u.U., wie z.B. bei $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac1{k^2} \end{eqnarray*}$ sehr trickreich sein... Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.11.2012, 10:14

Threadersteller

Auf diesen Beitrag antworten »

@Mystic:

Was für ein Zufall. Ich soll nämlich ggf. vorhandene Konvergenz und Grenzwert für

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2 - 1} \end{eqnarray*}$
und

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2 + 1} \end{eqnarray*}$

bestimmen. Kannst du mir da weiterhelfen?

13.11.2012, 10:26

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Für die erste Reihe musst du eine Partialbruchzerlegung für das allgemeine Reihenglied durchführen und kannst dann leicht sowohl Konvergenz wie Reihenwert bestimmen... Für die zweite Reihe ist die erste eine konvergente Majorante...

13.11.2012, 10:45

Threadersteller

Auf diesen Beitrag antworten »

Das zweite sollte heißen

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n^2 + 1} \end{eqnarray*}$

13.11.2012, 11:02

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Threadersteller
Das zweite sollte heißen

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n^2 + 1} \end{eqnarray*}$

Na super, das liebe ich, wenn schon in der Angabe ein grober Fehler steckt... unglücklich

unglücklich

Dachte mir schon, dass da was nicht stimmt, denn ich hätte da ad hoc nicht den Reihenwert angeben können... Naja, da wird man dann wohl eher mit Minoranten arbeiten müssen...

Anzeige

13.11.2012, 11:41

Threadersteller

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay also erstmal nur zur Konvergenz...bin auch sehr froh, wenn ich erstmal das verstanden habe...

13.11.2012, 12:01

Threadersteller

Auf diesen Beitrag antworten »

Vorher habe ich noch eine andere Frage:

Bei der Reihe
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

habe ich gesagt, dass ich bereits weiß, dass
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ divergiert und weil jedes Partialelement
$\begin{eqnarray*} frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ größer ist als das entsprechende Element $\begin{eqnarray*} frac{1}{n} \end{eqnarray*}$
konvergiert die Reihe nach dem Minorantenkriterium (Majoranten wärs ja wenns andersrum wäre oder?)

Ist das soweit richtig?

13.11.2012, 12:04

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Sehe ich das richtig, dass du meinst, dass die Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

konvergiert, obwohl du dich in deinen Überlegungen auf eine divergente Reihe stützt? geschockt

geschockt

13.11.2012, 12:07

Threadersteller

Auf diesen Beitrag antworten »

Mist nein, ich meinte sie divergiert ...
wenn man nicht angemeldet ist kann man nur 1mal pro Minute etwas posten, deswegen kann ich mich leider nicht sofort korrigieren...

also sie divergiert, weil $\begin{eqnarray*} frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ divergiert und jedes partialelement dieser divergierenden reihe kleiner gleich des elements der reihe ist, die ich untersuche

13.11.2012, 12:10

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das wäre das Minorantenkriterium dann richtig angewendet...

13.11.2012, 12:28

Threadersteller

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, aber warum funktioniert das so?

Ich meine, zB bei $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{2}} \end{eqnarray*}$

kann ich ja auch nicht sagen, jede Partialsumme ist kleiner als bei
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ also divergiert $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{2}} \end{eqnarray*}$

im Gegenteil, die Reihe konvergiert!

Warum funktioniert das also wenn die divergente Reihe kleiner ist als die zu untersuchende Reihe, nicht aber, wenn es umgekehrt ist?

13.11.2012, 12:36

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Du brauchst eine konvergente Majorante, z.B. die Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^\infty \frac 1{k(k-1)} \end{eqnarray*}$

für deine Reihe ab k=2...

13.11.2012, 12:45

Threadersteller

Auf diesen Beitrag antworten »

Also beim Majorantenkriterium muss die konvergierende Reihe größer sein als die untersuchte Reihe

und beim Minoratenkriterium muss die divergierende Reihe kleiner sein als die untersuchte Reihe

dann funktioniert es.

Deswegen kann ich auch bei $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2 - 1} \end{eqnarray*}$

nicht mit dem Majorantenkriterium arbeiten richtig?

13.11.2012, 12:58

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Threadersteller
Deswegen kann ich auch bei $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2 - 1} \end{eqnarray*}$

nicht mit dem Majorantenkriterium arbeiten richtig?

Wer behauptet sowas?

Edit: Mal abgesehen davon, dass der Start bei n=1 keinen Sinn macht...

13.11.2012, 13:58

Threadersteller

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mystic

Zitat:

Original von Threadersteller
Deswegen kann ich auch bei $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2 - 1} \end{eqnarray*}$

nicht mit dem Majorantenkriterium arbeiten richtig?

Wer behauptet sowas?

Edit: Mal abgesehen davon, dass der Start bei n=1 keinen Sinn macht...

Naja das wäre die Konsequenz aus meinem vorherigen Post.
Ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{2}} \end{eqnarray*}$ konvergiert

aber bei $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2 - 1} \end{eqnarray*}$ ist jede einzelne Partialsumme nicht kleiner, sondern größer als die Partialsumme der konvergierenden Reihe. Deswegen kann man es an dieser Stelle nicht benutzen.

Ja, man sieht, dass 1 und -1 hier Definitionslücken sind.
Habe mir den entsprechenden Wikipedia-Artikel angeschaut, da ist das das 1. Beispiel im Artikel zu Partialbruchzerlegung
(leider darf ich den Link hier nicht posten)
aber ich verstehe nicht, was die da machen.

Warum ist $\begin{eqnarray*} frac{n}{n^2 -1} = frac{a_{1} }{x-1} + frac{a_{2} }{x+1} \end{eqnarray*}$
?? Ich verstehe die Schlussfolgerung, die hier aus den Definitionslücken gezogen wird, nicht.

13.11.2012, 14:05

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Den Index n=1 in der Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac 1{n^2-1} \end{eqnarray*}$

musst du schlicht und einfach weglassen, der ist verboten ("Durch 0 darf man nicht dividieren!")

Damit löst sich aber dein anderes Problem (sofern es jemals eines war!), wie von selbst, denn für die neue Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty \frac 1{n^2-1} \end{eqnarray*}$

ist die andere dann eine konvergente Majorante...

13.11.2012, 15:33

Threadersteller

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mystic
Den Index n=1 in der Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac 1{n^2-1} \end{eqnarray*}$

musst du schlicht und einfach weglassen, der ist verboten ("Durch 0 darf man nicht dividieren!")

Damit löst sich aber dein anderes Problem (sofern es jemals eines war!), wie von selbst, denn für die neue Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty \frac 1{n^2-1} \end{eqnarray*}$

ist die andere dann eine konvergente Majorante...

Okay, na gut...ich lasse das n = 1 weg.
Aber was hat es dann mit der PArtialbruchzerlegung in dem entsprechenden Wikipedia-Artikel auch sich??

Und warum ist $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac 1{n^2} \end{eqnarray*}$
eine Majorante zu
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty \frac 1{n^2-1} \end{eqnarray*}$ ???

Also 1 : 3² ist doch immer noch kleiner als 1: 3² -1 ?
Oder verschiebt sich das ganze dann?
Also, dass 1: 3² mit 1:4² -1 verglichen würde und dafür ist dann meine konvergente Reiher wieder größer?

13.11.2012, 15:53

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Threadersteller
Okay, na gut...ich lasse das n = 1 weg.
Aber was hat es dann mit der PArtialbruchzerlegung in dem entsprechenden Wikipedia-Artikel auch sich??

Und warum ist $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac 1{n^2} \end{eqnarray*}$
eine Majorante zu
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty \frac 1{n^2-1} \end{eqnarray*}$ ???

Irgendwie bringst du es fertig, über jeden Stein - und sei er auch noch so klein - der da auf dem Weg liegt prompt zu stolpern... unglücklich

unglücklich

Schauen wir und die Reihen doch mal an... Da ist einerseits

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac 1{n^2} = \sum_{n=2}^\infty \frac 1{(n-1)^2}=\sum_{n=2}^\infty \frac 1{n^2-2n+1} \end{eqnarray*}$

und andererseits die Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty \frac 1{n^2 -1} \end{eqnarray*}$

und du hast echt ein Problem damit, zu erkennen, dass die Nenner der ersten Reihe stets kleiner als die entsprechenden Nenner der zweiten Reihe sind??? Wie steht geschrieben: "Fasse es, wer es fassen kann"... Ich kann es nicht... unglücklich

unglücklich

13.11.2012, 21:51

Threadersteller

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mystic
Irgendwie bringst du es fertig, über jeden Stein - und sei er auch noch so klein - der da auf dem Weg liegt prompt zu stolpern... unglücklich

unglücklich

Schauen wir und die Reihen doch mal an... Da ist einerseits

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac 1{n^2} = \sum_{n=2}^\infty \frac 1{(n-1)^2}=\sum_{n=2}^\infty \frac 1{n^2-2n+1} \end{eqnarray*}$

und andererseits die Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty \frac 1{n^2 -1} \end{eqnarray*}$

und du hast echt ein Problem damit, zu erkennen, dass die Nenner der ersten Reihe stets kleiner als die entsprechenden Nenner der zweiten Reihe sind??? Wie steht geschrieben: "Fasse es, wer es fassen kann"... Ich kann es nicht... unglücklich

unglücklich

Okay, eine Frage habe ich noch zum Abschluss des Tages in diesem Thread:
Wenn ichdie Konvergenz für die Reihe
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac 1{n^2 -1} \end{eqnarray*}$
untersuchen soll. Und wenn ich weiß, dass die Reihe für n = 1 nicht definiert ist.
Wieso kann ich dann darauf schlussfolgern, dass ich einfach n = 2 setzen kann??

also:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty \frac 1{n^2 -1} \end{eqnarray*}$

Also verändere ich da nicht unzulässigerweise die Aufgabenstellung?

13.11.2012, 22:53

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Threadersteller
Okay, eine Frage habe ich noch zum Abschluss des Tages in diesem Thread:
Wenn ichdie Konvergenz für die Reihe
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac 1{n^2 -1} \end{eqnarray*}$
untersuchen soll. Und wenn ich weiß, dass die Reihe für n = 1 nicht definiert ist.
Wieso kann ich dann darauf schlussfolgern, dass ich einfach n = 2 setzen kann??

also:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty \frac 1{n^2 -1} \end{eqnarray*}$

Also verändere ich da nicht unzulässigerweise die Aufgabenstellung?

In der Tat... Die erste Aufgabenstellung war fehlerhaft, denn sie enthielt eine unzulässige Division durch 0... Bei einer schriftlichen Prüfung wird sowas gewöhnlich durch eine Verlautbarung korrigiert... Damit ist aber dann eigentlich eine neue Aufgabe daraus geworden...

13.11.2012, 23:10

Threadersteller

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mystic
In der Tat... Die erste Aufgabenstellung war fehlerhaft, denn sie enthielt eine unzulässige Division durch 0... Bei einer schriftlichen Prüfung wird sowas gewöhnlich durch eine Verlautbarung korrigiert... Damit ist aber dann eigentlich eine neue Aufgabe daraus geworden...

Okay. Dann hoffe ich, dass mein Aufgabenblattkorrektor das genauso sieht.
Dankeschön.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »