Existenz ganzer Zahlen mod m

08.02.2007, 17:45

frustriert

Existenz ganzer Zahlen mod m

Hallo!

Ich komme leider bei folgender Aufgabe nicht weiter:

Wieviele ganze Zahlen a mit $\begin{eqnarray*} 0\leq a < 11*13*37 \end{eqnarray*}$ und 11*13*37 teilt $\begin{eqnarray*} a^{2}-3 \end{eqnarray*}$ existieren?

Bis jetzt habe ich Folgendes gemacht:

$\begin{eqnarray*} a^{2}-3 \equiv 0 mod 11 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a^{2}-3 \equiv 0 mod 13 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a^{2}-3 \equiv 0 mod 37 \end{eqnarray*}$

Lösungen sind: $\begin{eqnarray*} a = \pm 5 mod 11 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a = \pm 4 mod 13 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a = 15 bzw. 22 mod 37 \end{eqnarray*}$ .

Muss ich jetzt einfach weiter mit dem chin. Restsatz rechnen?

Danke und viele Grüße!

08.02.2007, 17:47

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Zitat:

Original von frustriert
Muss ich jetzt einfach weiter mit dem chin. Restsatz rechnen?

Nur wenn du alle Lösungen tatsächlich ausrechnen willst. Wenn ich richtig lese, ist aber nur nach deren Anzahl gefragt. Und das kann man ohne weiteres Rechnen eigentlich sofort beantworten.

09.02.2007, 09:25

frustriert

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Danke, bezüglich der Anzahl der Lösungen hast du natürlich recht!

Stimmt 2^3 = 8 Lösungen?

09.02.2007, 10:16

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Ja.

Jede Kombination der drei $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ führt zu einer Lösung gemäß chinesischem Restsatz, und diese Lösungen sind sämtlich voneinander verschieden.

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