Inverse Fouriertransformation vom Quotienten der Fouriertransformierten und dessen komplex konjugier

13.11.2012, 13:00	Mesh12	Auf diesen Beitrag antworten »
Inverse Fouriertransformation vom Quotienten der Fouriertransformierten und dessen komplex konjugier Meine Frage: Hallo, ich habe folgendes Problem: Wir betrachten eine reelle Funktion $\begin{eqnarray} f : \mathbb R ^ 3 -> \mathbb R \end{eqnarray}$ und ihre Fouriertransformierte $\begin{eqnarray} \tilde f : \mathbb R ^ 3 -> \mathbb C \end{eqnarray}$ . Die Aufgabe besteht jetzt darin die Fouriertransformierte von dem Quotienten von $\begin{eqnarray} \tilde f \end{eqnarray}$ und dessen komplex konjungierten $\begin{eqnarray} \tilde{f}^{} \end{eqnarray}$ zu berechnen, $\begin{eqnarray} \mathcal{F} \left\{ \frac{\tilde f (\vec{k} )}{\tilde{f}^{} (\vec{k} )} \right\} \end{eqnarray}$ bzw. soweit wie möglich zu vereinfachen, sodass möglichst alle Fouriertransformationen weg fallen Meine Ideen: Als erstes ist mir aufgefallen, dass man das Faltungstheorem verwenden könnte: $\begin{eqnarray} \mathcal{F} \left\{ \frac{\tilde f (\vec{k} )}{\tilde{f}^{} (\vec{k} )} \right\} = \frac{1}{\left(2 \pi \right) ^{3/2}} f(\vec{x}) \otimes \mathcal{F} \left\{ \frac{1}{\tilde{f}^{} (\vec{k} )} \right\} \end{eqnarray}$ (wobei $\begin{eqnarray} \otimes \end{eqnarray}$ die Faltung bezeichnet) nur komme ich mit $\begin{eqnarray} \mathcal{F} \left\{ \frac{1}{\tilde{f}^{} (\vec{k} )} \right\} \end{eqnarray}$ dann auch nicht viel weiter. Eine andere Idee war $\begin{eqnarray} \tilde{f} \end{eqnarray}$ zu zerlegen in Betrag und Phase (denn $\begin{eqnarray} \frac{\tilde f(\vec{k} )}{\tilde{f}^{} (\vec{k} )} \end{eqnarray}$ liefert ja nur eine Phase) oder Real- und Imaginärteil. Im Falle letzteren könnte man $\begin{eqnarray} f(\vec{x}) \end{eqnarray}$ auch zerlegen in eine Summe von Funktionen mit definierter Achsensymmetrie. Für $\begin{eqnarray} \tilde f(\vec{k}) \end{eqnarray}$ bleibt die Achsensymmetrie dann auch bekannt, was auch alles recht hübsch ist nur leider wenig hilfreich beim lösen der Aufgabe :-( Falls mir da jemand weiterhelfen könnte wäre ich sehr dankbar !!!

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