[Ordnungsrelationen,Halbordnungen] Transitivität von 2 Paaren

13.11.2012, 13:38

philv

[Ordnungsrelationen,Halbordnungen] Transitivität von 2 Paaren

Hallo,

ich studiere nur seit einem guten Monat und da ich bisher die Übungsaufgaben der Uni kaum angerührt habe,
hänge ich nun ein bisschen hinterher und möchte aber möglichst schnell aufholen, bevor der Stoff zu viel wird.

Wir haben vor 2-3 Wochen die Begriffe der Ordnungsrelationen, welche ich mir teilweise neu anlesen musste ...

Nun war in einer Übung eine Aufgabe:

A,B sind Mengen
Es ist eine Relation R auf die Menge A x B von A gegeben:
R = { ( (a1,b1) , (a2,b2) ) e (A x B)² | a1 R' a2 ^ b1 R'' b2 }

R' und R'' sind Halbordnungen zwischen a1 und a2 bzw. b1 und b2.
Ich soll nun zeigen, dass R eine Halbordnung ist.
e - Element

Nachdem ich mich nun endlich eingelesen hatte,
waren Reflexivität und Antisymmetrie schnell erledigt.

Ich habe nur leider keinen Ansatz für die Transitivität, da ja die Transitivität immer
anhand von 3 Objekten erklärt wird (x,y,z), hier habe ich jedoch nur 2 Paare ...

Muss ich mir ein 3. Paar aus der menge suchen?
Also (a1,b2) oder (a2,b1)?

Außerdem komme ich auch nicht so ganz mit dem ² bei (A x B)² klar.
A x B wären doch schon alle möglichen Kombinationen, oder nicht?
Warum ²?

Als letztes noch verstehe ich die Formulierung
"Menge A x B von A" nicht.
Vermutlich ist es nur eine Kleinigkeit, aber kann mir das jemand erklären?

Grüße

13.11.2012, 13:49

zweiundvierzig

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RE: [Ordnungsrelationen,Halbordnungen] Transitivität von 2 Paaren

Zitat:

Original von philv
Muss ich mir ein 3. Paar aus der menge suchen?
Also (a1,b2) oder (a2,b1)?

Genau, aber diese von dir genannten Paare sind ganz bestimmte Paare, da Du die Elemente $\begin{eqnarray*} a_1, a_2, b_1, b_2 \end{eqnarray*}$ schon gewählt hast. Du brauchst ein allgemeines Paar wie $\begin{eqnarray*} (a_3, b_3) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von philv
Außerdem komme ich auch nicht so ganz mit dem ² bei (A x B)² klar.
A x B wären doch schon alle möglichen Kombinationen, oder nicht?
Warum ²?

In $\begin{eqnarray*} A \times B \end{eqnarray*}$ sind die Paare $\begin{eqnarray*} (a,b), ~ a\in A, b \in B \end{eqnarray*}$ enthalten, in $\begin{eqnarray*} (A \times B)^2 \end{eqnarray*}$ eben Paare solcher Paare, d.h. $\begin{eqnarray*} ((a_1,b_1), (a_2,b_2)), ~ a_i \in A, b_i \in B \end{eqnarray*}$ . Das braucht man hier, weil eine zweistellige Relation eben Teilmenge eines zweifachen kartesischen Produkts ist.

Du hast Relationen $\begin{eqnarray*} R' \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} R'' \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ , d.h. Teilmengen $\begin{eqnarray*} R' \subset A \times A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} R'' \subset B \times B \end{eqnarray*}$ . In Abhängigkeit davon wird eine Relation $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} A \times B \end{eqnarray*}$ definiert, und das ist dann eben ganz analog eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} R \subset (A \times B)^2 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von philv
Als letztes noch verstehe ich die Formulierung
"Menge A x B von A" nicht.

Das ergibt auch tatsächlich nicht viel Sinn. Am ehesten könnte noch gemeint sein, dass die Relationen auf $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ die Relation $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} A \times B \end{eqnarray*}$ induzieren.

13.11.2012, 13:57

philv

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Danke sehr, das mit der Formulierung war auch eher ein kleines Nebenproblem.
Was ich eigentlich wissen wollte weiß ich jetzt smile

Danke

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