Kombinatorik |
| 13.11.2012, 15:48 | Thu Ha | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Kombinatorik In einem Sack liegen a Kugeln, jede von jeder verschieden. Man zieht blind eine Kugel, notiert das Ergebnis und legt sie zurück. 1. Wie viele verschiedene Kugeln hat man nach b Ziehungen durchschnittlich gezogen? 2. Wie wahrscheinlich ist es, dass man nach b Ziehungen jede Kugel mindestens einmal gezogen hat? 3. Wie oft muss man durchschnittlich ziehen, um jede Kugel mindestens einmal gezogen zu haben? Frage 1 und 2 hängen von a und b ab, Frage 3 nur von a. Ich suche die allgemeinen Formeln, konnte sie aber bislang mit meinem Wissen der Stochastik nicht lösen. Kannst Du mir helfen? Meine Ideen: Es gibt ja die bekannten Formeln zum Ziehen mit oder ohne Zurücklegen sowie mit oder ohne Beachtung der Reihenfolge. Es handelt sich hier zwar tatsächlich um eine Ziehung mit Zurücklegung und unerheblicher Reihenfolge. Aber die Formel unterscheidet das einfache vom mehrfachen Ziehen und ist wohl deswegen nicht anzuwenden. Daher habe ich selbst nach neuen Formeln gesucht. Es ist mir nur eingeschränkt gelungen, nämlich für a=2: Nach b Ziehungen hat man durchschnittlich 2-0,5^(b-1) Kugeln gezogen. Das heißt bei aufsteigendem b: 1 1,5 1,75 1,875 ... Die Wahrscheinlickeit, nach b Ziehungen alle Kugeln gezogen zu haben, ist dagegen 1-0,5^(b-1), also 0 0,5 0,75 ... Für die dritte Frage fiel mir nur ein, die Summe von 0,5^(b-1) für b gegen unendlich zu berechnen (kein sehr eleganter Weg). Dabei nähert sich der Wert 3. Das alles konnte ich nur für a=2 berechnen, da hier Ereignis und Gegenereignis so einfach sind. Kannst Du mir bitte beim Finden allgemeiner Formeln abhängig von beliebigem a und b für die drei Fragen helfen?? |
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