Bernoulli-DGL

13.11.2012, 16:16	skhardcore	Auf diesen Beitrag antworten »
Bernoulli-DGL Servus, müssen in Mathe 3 um zur Klausur zugelassen zu werden, jede Woche Aufgaben abgeben. Das Übungsblatt handelt von linearen DGL n-ter Ordnung. Was mich etwas verwirrt ist unsere Aufgabe die wir abgeben müssen! "Lösen Sie das AWP" y' = (1/x - x)y² - y/x ; y(0,5)=4/9 ; x > 0 Also ich persönlich finde, dass das nichts mit n-ter Ordnung zu tun hat und bin spontan auf eine Bernoulli DGL gekommen. Der Typ Bernoulli ist ja folgender: y' = g(x) y + r(x) y^± g(x) = y/x r(x) = (1/x - x) ±= 2 Ich würde gerne wissen, ob ich hier mit der Bernoulli DGL. richtig liege. Ansonsten wüsste ich nicht so recht, mit welchem Typen ich es hier zu tun habe! Cheerio und Gracias!
13.11.2012, 17:25	skhardcore	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bernoulli-DGL das + - zeichen sollte eigentlich ein alpha sein.... y' = g(x) * y + r(x) y^alpha g(x) = y/x r(x) = (1/x - x) alpha = 2
13.11.2012, 19:10	skhardcore	Auf diesen Beitrag antworten »
keiner ne idee?
13.11.2012, 22:37	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Bernoulli ist doch gut. Nur ist g = -1/x
14.11.2012, 13:22	skhardcore	Auf diesen Beitrag antworten »
jau, hast du natürlich recht! bin nun auf folgendes ergebnis gekommen: habe mit z substituiert: z= 1/y z' ist laut bernoulli dgl.: z'= (1-alpha) * [ g(x) * z + r (x)] DGL einsetzen z' = (1-2) * [ -1/x * z + (1/x - x)] z' = 1/x * z - (1/x - x) so mit habe ich eine lineare DGL. 1. Ordnung und kann wie folgt vorgehen: $\begin{eqnarray} G(x) = \int_a^b \! g(t) \, dt = \int_a^b \! \frac{1}{t} \, dt = ln\|x\| + C<br /> <br /> inhomogene Gleichung lautet:<br /> <br /> z(x) = [\int_a^b \! h(t) e^{-G(t)} \, dt +y0]e^{G(x)} \end{eqnarray}$ Einsetzen $\begin{eqnarray} [\int_a^b \! (\frac{1}{t} - t)e^{-ln\|t\|} \, dt + yo]e^{ln\|t\|} \end{eqnarray}$ so und nachdem ich dann alles aufgelöst habe komme ich auf folgendes: $\begin{eqnarray} z(x)= -\frac{1}{x} - x + C) x<br /> <br /> z(x) = -1 -x² + Cx<br /> <br /> y = \frac{1}{z}= \frac{1}{-1 - x² - Cx} <br /> <br /> C= \frac{\frac{1}{y} + 1 + x²}{x} = 7 \end{eqnarray*}$ Könnte mir das einer bestätigen oder ist das völliger unsinn? Grüße
14.11.2012, 14:30	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein z= 1/y ist richtig. Danach wird es aber zu kompliziert. Du hast wohl irgendein Schema, nachdem du die DGl (fast richtig) gelöst hast. Es geht aber viel einfacher. Erstmal hätte ich die DGl für z bzw. y durch Multiplikation mit x vereinfacht. Für z lautet die DGl dann: $\begin{eqnarray} xz' -z= x^2-1 \end{eqnarray}$ Das spart Zeit und Mühe. Mit einem Polynomansatz kommt man schnell auf die Lösung der homogenen DGl: $\begin{eqnarray} z_0 =g\cdot x \end{eqnarray}$ Die Methode "Variation der Konstanten" ergibt nach Einsetzen von $\begin{align} z = g(x) x \end{align}$ eine DGl für g(x): $\begin{eqnarray} g'(x) = 1-\frac{1}{x^2} \end{eqnarray}$ was zu $\begin{eqnarray} g(x) = C + x +\frac{1}{x} \end{eqnarray}$ führt. Letztendlich ergibt dies für y: $\begin{eqnarray} y = \frac{1}{x^2+Cx + 1} \end{eqnarray}$ Die Lösung unterscheidet sich also von deiner um das Vorzeichen. Entsprechend hat dann das gesuchte C auch einen anderen Wert. Gruß Peter
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14.11.2012, 17:00	skhardcore	Auf diesen Beitrag antworten »
jetzt versteh ich was meine eltern früher meinten als sie sagten: du bistn komplizierter typ.... besten dank

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