Warum haben ähnliche Matrizen das gleiche charakteristische Polynom? Frage zum Beweis

13.11.2012, 15:50

rrrandalina

Warum haben ähnliche Matrizen das gleiche charakteristische Polynom? Frage zum Beweis

Meine Frage:
Hallo!
Es geht um ähnliche Matrizen.
Wenn Matrix A R^{nxn} und B R^{nxn} zueinander ähnlcih sind, gibt es ja eine invertierbare Matrix T in R^{nxn} mit B=T^{-1}AT.
An sich ist mir das klar.
Ich habe aber grad echt Probleme, den Beweis dazu zu verstehen. Ich habe die Lösung zwar vor mir liegen, es hängt an 2 Stellen. Den Beweis hänge ich als Bild an, bei rot und grün hängts.

Meine Ideen:
* rot: wieso darf man einfach T^{-1} und T drum rum schreiben, ohne dass sich was ändert? weil es um die Einheitsmatrix geht?
Ich habe mir das so erklärt, stimmt das? T^{-1}\lambda EnT^{-1}= \lambda En T^{-1}T = \lambda En ... darf ich das \lambda En einfach nach vorne ziehen? ich dachte mir, dass \lambda ja eine reelle Zahl ist, also müsste ich das ja dürfen? und die Einheitsmatrix ist ja egal, ob sie da steht oder nicht?!
* grün: Warum fallen die grünen Sachen einfach weg?

Eine Idee noch, die vllt beide Farben beantworten könnte:
T^{-1} ist ja der Kehrbruch zu T.. also müsste sich das einfach wegkürzen. Darf ich das so sagen?
[wenn ja, dann würde mich aber trotzdem interessieren, ob mein Weg bei "rot" auch richtig wäre]

13.11.2012, 17:00

RavenOnJ

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Die Einheitsmatrix kommutiert mit jeder Matrix aus demselben Raum.

13.11.2012, 17:03

RavenOnJ

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RE: Warum haben ähnliche Matrizen das gleiche charakteristische Polynom? Frage zum Beweis

Zitat:

Original von rrrandalina

* grün: Warum fallen die grünen Sachen einfach weg?

weil die Determinante der inversen Matrix $\begin{align*} T^{-1} \end{align*}$ gleich dem Kehrwert der Determinante von $\begin{align*} T \end{align*}$ ist.

13.11.2012, 17:34

rrrandalina

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danke schon mal! smile

Zitat:

Original von RavenOnJ

Zitat:

Original von rrrandalina

* grün: Warum fallen die grünen Sachen einfach weg?

weil die Determinante der inversen Matrix $\begin{align*} T^{-1} \end{align*}$ gleich dem Kehrwert der Determinante von $\begin{align*} T \end{align*}$ ist.

ah okay, und dann wirds ja 1 bzw fällt weg.. logisch Big Laugh

und noch zu rot: darf ich dann also sagen
$\begin{eqnarray*} T^{-1}\lambda EnT = \lambda T^{-1}EnT = \lambda T^{-1}T = \lambda En \end{eqnarray*}$ ?? weil lambda ist ja eine reelle zahl, die ich nach vorne schieben dürfte?

wäre es genauso richtig/falsch, zu sagen: $\begin{eqnarray*} T^{-1}\lambda EnT = \lambda En T^{-1}T = \lambda En \end{eqnarray*}$ ? weil wenn die Einheitsmatrix kommutiert, dürfte ich diese dann auch rumschieben wie ich will? (soweit ich weiß ist ja die Einheitsmatrix die einzige, die kommutiert, oder?)

13.11.2012, 20:35

RavenOnJ

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Zitat:

Original von rrrandalina

und noch zu rot: darf ich dann also sagen
$\begin{eqnarray*} T^{-1}\lambda E_nT = \lambda T^{-1}E_nT = \lambda T^{-1}T = \lambda En \end{eqnarray*}$ ?? weil lambda ist ja eine reelle zahl, die ich nach vorne schieben dürfte?

wäre es genauso richtig/falsch, zu sagen: $\begin{eqnarray*} T^{-1}\lambda E_nT = \lambda E_n T^{-1}T = \lambda E_n \end{eqnarray*}$ ? weil wenn die Einheitsmatrix kommutiert, dürfte ich diese dann auch rumschieben wie ich will? (soweit ich weiß ist ja die Einheitsmatrix die einzige, die kommutiert, oder?)

klar, Skalare und die Einheitsmatrix darfst du hin- und herschieben wie du willst. Die Einheitsmatrix ist (abgesehen von Skalierung mit einem Skalar) die einzige die mit jeder quadratischen Matrix derselben Dimension kommutiert.

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