Sind meine Lösungen zu Konvergenz richtig? - letzter Schritt fehlt mir

13.11.2012, 17:25

Threadersteller

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Sind meine Lösungen zu Konvergenz richtig? - letzter Schritt fehlt mir

Meine Frage:
Ich soll die beiden Reihen:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty n x^{n} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} x^{n} \end{eqnarray*}$

mit dem Quotientenkriterium daraufhin untersuchen, für welche x Konvergenz gegeben ist:

Meine Ideen:
Zur ersten habe ich das hier:
$\begin{eqnarray*} |\frac{(n+1)x^{n+1}}{n x^{n}}| \end{eqnarray*}$ so lange umgeformt, bis ich $\begin{eqnarray*} |x + \frac{x}{n}| = |x*(1 + \frac{1}{n}) | \end{eqnarray*}$
Was mir hier noch fehlt, ist die Schlussfolgerung.

Also ich meine, ich muss die Klammer irgendwie auf die andere Seite bekommen, aber ich kann ja nicht einfach die Bruchstriche weglassen??

Zum Zweiten habe ich das hier:
$\begin{eqnarray*} |\frac{\frac{1}{n+1} * x^{n+1}}{\frac{1}{n} * x^{n}}| \end{eqnarray*}$
so lange umgeformt, bis ich bei $\begin{eqnarray*} |x* (1+n)| \end{eqnarray*}$ war
Hier habe ich die gleiche Frage wie oben.
Wie kriege ich das (1+n) auf die andere Seite. Muss ich da eine Fallunterscheidung machen oder wir funktioniert das?

Bitte Schritt für Schritt sodass ich es verstehen kann.

13.11.2012, 20:38

Mulder

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RE: Sind meine Lösungen zu Konvergenz richtig? - letzter Schritt fehlt mir
Offenbar verwechselst du hier was. Quotientenkriterium ist was anderes. Wir benutzen hier Cauchy-Hadamard, bzw. eine andere Formel, die dich vielleicht an das Quotientenkriterium erinnert, aber doch etwas anderes ist.

Die Potenz x^n betrachtest du dabei auch gar nicht, sondern nur die Folge $\begin{eqnarray*} a_n=n \end{eqnarray*}$ bzw. im zweiten Fall eben $\begin{eqnarray*} b_n = \frac 1 n \end{eqnarray*}$ .

Und dann ergibt sich der Konvergenzradius einfach durch

$\begin{eqnarray*} r = \lim_{n \to \infty} \left \vert \frac{a_n}{a_{n+1}} \right \vert \end{eqnarray*}$

Ich weiß auch nicht, was du mit "auf die andere Seite kriegen" meinst. Sehr mysteriös, deine Ausführungen... verwirrt

verwirrt

13.11.2012, 21:25

Threadersteller

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RE: Sind meine Lösungen zu Konvergenz richtig? - letzter Schritt fehlt mir

Zitat:

Original von Mulder
Offenbar verwechselst du hier was. Quotientenkriterium ist was anderes. Wir benutzen hier Cauchy-Hadamard, bzw. eine andere Formel, die dich vielleicht an das Quotientenkriterium erinnert, aber doch etwas anderes ist.

Die Potenz x^n betrachtest du dabei auch gar nicht, sondern nur die Folge $\begin{eqnarray*} a_n=n \end{eqnarray*}$ bzw. im zweiten Fall eben $\begin{eqnarray*} b_n = \frac 1 n \end{eqnarray*}$ .

Und dann ergibt sich der Konvergenzradius einfach durch

$\begin{eqnarray*} r = \lim_{n \to \infty} \left \vert \frac{a_n}{a_{n+1}} \right \vert \end{eqnarray*}$

Ich weiß auch nicht, was du mit "auf die andere Seite kriegen" meinst. Sehr mysteriös, deine Ausführungen... verwirrt

verwirrt

also soweit ich weiß lautet das Quotientenkriterium wie folgt:
Eine Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty n x^{n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A_{n} \geq n_{0} ; a_{n} \neq 0 \end{eqnarray*}$ (also ab einem bestimmten n aus N ist $\begin{eqnarray*} a_{n} \neq 0 \end{eqnarray*}$

konvergiert dann absolut, wenn es ein $\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$ q >0 gibt, sodass $\begin{eqnarray*} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}}| \leq q < 1 \end{eqnarray*}$

Oder hab ich da was falsch verstanden?

13.11.2012, 21:31

Mulder

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RE: Sind meine Lösungen zu Konvergenz richtig? - letzter Schritt fehlt mir
Quotientenkriterium

Wir sind hier aber beim Berechnen des Konvergenzradius' einer Potenzreihe.

13.11.2012, 21:37

Threadersteller

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RE: Sind meine Lösungen zu Konvergenz richtig? - letzter Schritt fehlt mir

Zitat:

Original von Mulder

Wir sind hier aber beim Berechnen des Konvergenzradius' einer Potenzreihe.

Also in der Aufgabenstellung steht ausdrücklich, dass ich das Quotientenkriterium nutzen soll, um festzustellen, für welche x die Reihen konvergieren.

Außerdem weiß ich garnicht was ein Konvergenzradius ist.Das hatten wir in der Vorlesung garnicht.
Ist das nicht einfach nur ein anderes Wort für "Die x, für welche die Reihe konvergiert" ?

13.11.2012, 21:52

Mulder

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RE: Sind meine Lösungen zu Konvergenz richtig? - letzter Schritt fehlt mir

Zitat:

Original von Threadersteller
Also in der Aufgabenstellung steht ausdrücklich, dass ich das Quotientenkriterium nutzen soll, um festzustellen, für welche x die Reihen konvergieren.

Außerdem weiß ich garnicht was ein Konvergenzradius ist.Das hatten wir in der Vorlesung garnicht.

Ach ja? Okay, dann sorry. Das kam irgendwie nicht so rüber und weil genau diese Verwechslung hier häufiger vorkommt, dachte ich, es wäre hier genau so.

Na gut, dann halt mit dem Quotientenkriterium. Da müssen dann Grenzwertsätze herhalten. Dann suchen wir halt die x, für die

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left \vert x \cdot \left ( 1+ \frac{1}{n} \right ) \right \vert \leq q <1 \end{eqnarray*}$

erfüllt ist. Das ist aber auch nicht schwer einzusehen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left \vert x \cdot \left ( 1+ \frac{1}{n} \right ) \right \vert = |x| + \lim_{ n \to \infty} \frac{|x|}{n} \end{eqnarray*}$

Denn das (1+1/n) ist ja immer positiv. Bei dem zweiten kannst du den Grenzwert sofort angeben, x ist ja konstant und wird dort keine Rolle spielen.

Und dann weißt du, was |x| sein muss, damit die Reihe konvergiert.

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13.11.2012, 22:05

Threadersteller

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RE: Sind meine Lösungen zu Konvergenz richtig? - letzter Schritt fehlt mir

Zitat:

Original von Mulder

Zitat:

Original von Threadersteller
Also in der Aufgabenstellung steht ausdrücklich, dass ich das Quotientenkriterium nutzen soll, um festzustellen, für welche x die Reihen konvergieren.

Außerdem weiß ich garnicht was ein Konvergenzradius ist.Das hatten wir in der Vorlesung garnicht.

Ach ja? Okay, dann sorry. Das kam irgendwie nicht so rüber und weil genau diese Verwechslung hier häufiger vorkommt, dachte ich, es wäre hier genau so.

schon okay, ich hab extra aufgepasst die richtige aufgabestellung mit reinzuschreiben

Zitat:

Original von Mulder
Na gut, dann halt mit dem Quotientenkriterium. Da müssen dann Grenzwertsätze herhalten. Dann suchen wir halt die x, für die

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left \vert x \cdot \left ( 1+ \frac{1}{n} \right ) \right \vert \leq q <1 \end{eqnarray*}$

erfüllt ist. Das ist aber auch nicht schwer einzusehen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left \vert x \cdot \left ( 1+ \frac{1}{n} \right ) \right \vert = |x| + \lim_{ n \to \infty} \frac{|x|}{n} \end{eqnarray*}$

Denn das (1+1/n) ist ja immer positiv. Bei dem zweiten kannst du den Grenzwert sofort angeben, x ist ja konstant und wird dort keine Rolle spielen.

Und dann weißt du, was |x| sein muss, damit die Reihe konvergiert.

=) Deine Umformung hab ich verstanden
Ich hätte jetzt in dem Fall $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left \vert x \cdot \left ( 1+ \frac{1}{n} \right ) \right \vert \leq q <1 \end{eqnarray*}$
argumentiert, dass es <= q ist und zwar immer dann wenn q<1

Das in der Klammer ist zwar immer etwas größer als 1 aber dadurch dass das n immer größer wird, wird 1/n auf jeden Fall irgendwann so klein, dass es durch ein |x| < 1
aufgehoben wird. Egal, wie nah |x| an 1 dran ist.
Mein Problem ist, dass man so glaube ich nicht argumentieren darf.
Ich weiß nicht genau wie groß ich 1 wählen soll.
Kann ich einfach sagen q < 1 ???

13.11.2012, 22:07

Mulder

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RE: Sind meine Lösungen zu Konvergenz richtig? - letzter Schritt fehlt mir

Zitat:

Original von Threadersteller
Das in der Klammer ist zwar immer etwas größer als 1 aber dadurch dass das n immer größer wird, wird 1/n auf jeden Fall irgendwann so klein, dass es durch ein |x| < 1
aufgehoben wird. Egal, wie nah |x| an 1 dran ist.
Mein Problem ist, dass man so glaube ich nicht argumentieren darf.

Warum nicht? Grenzwertsätze werden doch bekannt sein, oder? Der zweite Summand geht also gegen 0.

Es bleibt noch das |x| stehen und das muss kleiner 1 sein.

Die Reihe konvergiert also für alle $\begin{eqnarray*} -1 < x < 1 \end{eqnarray*}$ .

13.11.2012, 22:09

Threadersteller

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RE: Sind meine Lösungen zu Konvergenz richtig? - letzter Schritt fehlt mir

Zitat:

Original von Mulder

Zitat:

Original von Threadersteller
Das in der Klammer ist zwar immer etwas größer als 1 aber dadurch dass das n immer größer wird, wird 1/n auf jeden Fall irgendwann so klein, dass es durch ein |x| < 1
aufgehoben wird. Egal, wie nah |x| an 1 dran ist.
Mein Problem ist, dass man so glaube ich nicht argumentieren darf.

Warum nicht? Grenzwertsätze werden doch bekannt sein, oder? Der zweite Summand geht also gegen 0.

Es bleibt noch das |x| stehen und das muss kleiner 1 sein.

Die Reihe konvergiert also für alle $\begin{eqnarray*} -1 < x < 1 \end{eqnarray*}$ .

Weil bei Wikipedia steht:
Im Fall der Konvergenz muss q von n unabhängig und echt kleiner als 1 sein. Gilt lediglich $\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1 \end{eqnarray*}$ , kann also $\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \end{eqnarray*}$ beliebig nahe an 1 herankommen, so liefert das Quotientenkriterium keine Aussage über die Konvergenz oder die Divergenz.

13.11.2012, 22:14

Mulder

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RE: Sind meine Lösungen zu Konvergenz richtig? - letzter Schritt fehlt mir
Wenn |x| kleiner 1 ist, dann kann der Ausdruck

$\begin{eqnarray*} \left \vert x \cdot \left ( 1+ \frac{1}{n} \right ) \right \vert \end{eqnarray*}$

nicht beliebig nahe an 1 rankommen. Da das Ding in der Klammer gegen 1 geht, konvergiert dieser Ausdruck gegen |x|. Darum sagen wir dann doch, dass |x| kleiner 1 sein muss.

Im Übrigen: Scheiß auf das q. Dieses q haben wir schon mit drin, diese Rolle übernimmt das x. Ich hätte es oben eigentlich auch weglassen müssen, das ist mir durch Copy&Paste mit reingerutscht.

(daher auch die Verwirrung, die Definitionen und Bezeichnungen sind beim Quotientenkriterium eher weniger auf Potenzreihen ausgelegt).

Eigentlich betrachten wir also:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left \vert x \cdot \left ( 1+ \frac{1}{n} \right ) \right \vert <1 \end{eqnarray*}$

Dafür suchen wir die passenden x.

13.11.2012, 22:19

Threadersteller

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RE: Sind meine Lösungen zu Konvergenz richtig? - letzter Schritt fehlt mir

Zitat:

Original von Mulder
Wenn |x| kleiner 1 ist, dann kann der Ausdruck

$\begin{eqnarray*} \left \vert x \cdot \left ( 1+ \frac{1}{n} \right ) \right \vert \end{eqnarray*}$

nicht beliebig nahe an 1 rankommen. Da das Ding in der Klammer gegen 1 geht, konvergiert dieser Ausdruck gegen |x|. Darum sagen wir dann doch, dass |x| kleiner 1 sein muss.

Im Übrigen: Scheiß auf das q. Dieses q haben wir schon mit drin, diese Rolle übernimmt das x. Ich hätte es oben eigentlich auch weglassen müssen, das ist mir durch Copy&Paste mit reingerutscht.

(daher auch die Verwirrung, die Definitionen und Bezeichnungen sind beim Quotientenkriterium eher weniger auf Potenzreihen ausgelegt).

Eigentlich betrachten wir also:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left \vert x \cdot \left ( 1+ \frac{1}{n} \right ) \right \vert <1 \end{eqnarray*}$

Dafür suchen wir die passenden x.

Okay, na gut, danke dir =)

beim Zweiten also $\begin{eqnarray*} |x* (1+n)| < 1 \end{eqnarray*}$ würde ich argumentieren, dass 1+n gegen unendlich geht und egal wie klein x ist, das n irgendwann so groß wird, dass $\begin{eqnarray*} |x* (1+n)| > 1 \end{eqnarray*}$ wird und damit die Reihe divergiert

13.11.2012, 22:21

Threadersteller

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würdest du dem zustimmen?

13.11.2012, 22:34

Mulder

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Ich hab keine Ahnung, wie du da hingekommen bist. Und nein, das ist völlig falsch.

Geh doch auch mal logisch über deine angeblichen Ergebnisse drüber: Bei der ersten Reihe war die Reihe für |x|<1 konvergent. Da haben wir x mit n multipliziert. Hier teilen wir das x durch n, da n aber größer 1 ist, sind die Summanden - bei gleichem x - doch viel kleiner als die in der ersten Aufgabe. Wie soll es dann sein, dass diese Reihe gar nicht konvergiert? Macht doch null Sinn! Die eigenen Ergebnisse ruhig auch immer mal kritisch hinterfragen.

Jedenfalls musst du wohl deine Rechnung zeigen. Irgendwo ist dir da ein n verloren gegangen.

13.11.2012, 22:42

Threadersteller

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Okay, moment.

Ich schreibe gleich ausführlich, wie ich dahingekommen bin

13.11.2012, 22:48

Threadersteller

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Zitat:

Original von Mulder
Ich hab keine Ahnung, wie du da hingekommen bist. Und nein, das ist völlig falsch.

Geh doch auch mal logisch über deine angeblichen Ergebnisse drüber: Bei der ersten Reihe war die Reihe für |x|<1 konvergent. Da haben wir x mit n multipliziert. Hier teilen wir das x durch n, da n aber größer 1 ist, sind die Summanden - bei gleichem x - doch viel kleiner als die in der ersten Aufgabe. Wie soll es dann sein, dass diese Reihe gar nicht konvergiert? Macht doch null Sinn! Die eigenen Ergebnisse ruhig auch immer mal kritisch hinterfragen.

Jedenfalls musst du wohl deine Rechnung zeigen. Irgendwo ist dir da ein n verloren gegangen.

Okay, also:
$\begin{eqnarray*} |\frac{\frac{1}{n+1} * x^{n+1}}{\frac{1}{n} * x^{n+1}}| = |\frac{\frac{1}{n} * x^{n+1} + 1 * x^{n+1}}{\frac{1}{n} * x^{n}}| \end{eqnarray*}$

Dann habe ich gekürzt und bin zu folgendem gekommen
$\begin{eqnarray*} |x + \frac{x}{\frac{1}{n}}| = |x + n*x| = |x * (1+n)| \end{eqnarray*}$

und das muss jetzt< 1 sein für fast alle n, damit die reihe konvergiert

13.11.2012, 22:51

Mulder

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Zitat:

Original von Threadersteller
$\begin{eqnarray*} |\frac{\frac{1}{n+1} * x^{n+1}}{\frac{1}{n} * x^{n+1}}| = |\frac{\frac{1}{n} * x^{n+1} + 1 * x^{n+1}}{\frac{1}{n} * x^{n}}| \end{eqnarray*}$

Tipp: Bruchrechnung üben! Dieser Unformungsschritt ist grausam. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Setz mal n=1 ein und guck die den Zähler an.

Es ist jedenfalls

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{b+c} \neq \frac{a}{b} + \frac{a}{c} \end{eqnarray*}$

13.11.2012, 23:02

Threadersteller

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Zitat:

Original von Mulder

Zitat:

Original von Threadersteller
$\begin{eqnarray*} |\frac{\frac{1}{n+1} * x^{n+1}}{\frac{1}{n} * x^{n+1}}| = |\frac{\frac{1}{n} * x^{n+1} + 1 * x^{n+1}}{\frac{1}{n} * x^{n}}| \end{eqnarray*}$

Tipp: Bruchrechnung üben! Dieser Unformungsschritt ist grausam. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Setz mal n=1 ein und guck die den Zähler an.

Es ist jedenfalls

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{b+c} \neq \frac{a}{b} + \frac{a}{c} \end{eqnarray*}$

Hmm ich nehme jetzt mal nur den oberen Teil:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1} * x^{n+1} \end{eqnarray*}$
aahh, jetzt sehe ich es auch
die richtige Umformung wäre hier:
$\begin{eqnarray*} |\frac{\frac{1}{n+1} * x^{n+1}}{\frac{1}{n} * x^{n+1}}| = |\frac{1}{1+\frac{1}{n}} * x| \end{eqnarray*}$
richtig?

Latex korrigiert
Mulder

13.11.2012, 23:04

Mulder

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Ja, damit kann ich mich schon eher anfreunden.

Weiter geht's!

13.11.2012, 23:09

Threadersteller

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Zitat:

Original von Mulder
Ja, damit kann ich mich schon eher anfreunden.

Weiter geht's!

*gg*

Also hier könnte man vermutlich schon wieder argumentieren:
Für $\begin{eqnarray*} {n \to \infty } \end{eqnarray*}$ geht $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ gegen 0
sodass das ganze bruch gegen 1 geht
|x| muss also wieder < 1 sein, damit das ganze < 1 ist und konvergiert

(ist ja auch logisch weil die einzelnen Partialsummen jeweils kleiner sind als bei der ersten Aufgabe und deswegen die erste Aufgabe eine Majorante zu dieser hier wäre.Aber ich musste ja das Quotientenkriterium benutzen)

13.11.2012, 23:15

Threadersteller

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Ich meine es kann sogar x <= 1 sein damit der Betrag insgesamt < 1 ist
weil ja der Bruch immer < 1 ist

13.11.2012, 23:19

Mulder

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Zitat:

Original von Threadersteller
(ist ja auch logisch weil die einzelnen Partialsummen jeweils kleiner sind als bei der ersten Aufgabe und deswegen die erste Aufgabe eine Majorante zu dieser hier wäre.Aber ich musste ja das Quotientenkriterium benutzen)

Ja, für -1<x<1 hätte man natürlich das Majorantenkriterium benutzen können, richtig erkannt! Aber das sagt dann ja noch nichts darüber aus, was für |x|>1 passiert.

Zitat:

Original von Threadersteller
Ich meine es kann sogar x <= 1 sein damit der Betrag insgesamt < 1 ist
weil ja der Bruch immer < 1 ist

Das wiederum ist jetzt falsch. Für x=1 zum Beispiel erhält man ja die harmonische Reihe und die ist divergent. Du selbst hast diesbezüglich auch eigentlich schon das richtige Argument gebracht (Wikipedia-Zitat). Denn wenn man x=1 setzt, würde man ja "beliebig nahe an 1 rankommen" und genau das darf eben nicht passieren!

Zitat:

Im Fall der Konvergenz muss q von n unabhängig und echt kleiner als 1 sein. Gilt lediglich $\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1 \end{eqnarray*}$ , kann also $\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \end{eqnarray*}$ beliebig nahe an 1 herankommen, so liefert das Quotientenkriterium keine Aussage über die Konvergenz oder die Divergenz.

13.11.2012, 23:31

Threadersteller

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Ich verstehe nicht so ganz, worauf die hinausmöchtest.

Ich muss doch nur zeigen, für welche x der Gesamtbetrag $\begin{eqnarray*} |\frac{1}{1+\frac{1}{n}} * x| < 1 \end{eqnarray*}$ ist für fast alle n ?

Und das ist dann der Fall, wenn |x| < 1 ist.
Wenn |x|> 1 ist, dann erhält man immer eine zahl <= 1 sodass für diese x KEINE Konvergenz gegeben ist

13.11.2012, 23:41

Mulder

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Zitat:

Original von Threadersteller
Ich muss doch nur zeigen, für welche x der Gesamtbetrag $\begin{eqnarray*} |\frac{1}{1+\frac{1}{n}} * x| < 1 \end{eqnarray*}$ ist für fast alle n ?

Nein! Das allein reicht nicht! Ich dachte, das hatten wir schon? Das Quotientenkriterum verlangt doch:

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \leq q <1 \end{eqnarray*}$

Für fast alle n. Das heißt, fast alle Summanden müssen betragsmäßig kleinergleich einer festen Zahl q<1 sein. Das ist aber nicht gegeben, wenn der Grenzwert des Quotienten 1 beträgt. Zwar sind dann nach wie vor alle Summanden echt kleiner 1, aber sie kommen beliebig nahe an 1 ran. Daher kannst du kein passendes q angeben, wenn du x=1 oder x=-1 wählst.

In deinem letzten Post hattest du aber eben gesagt, es wäre auch richtig, wenn |x|=1 ist. Stimmt aber nicht. Ist |x|<1, dann haben wir hier:

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \leq q <1 \end{eqnarray*}$

erfüllt mit |x|=q als richtige Wahl. Dann haut's hin. Aber eben nicht für |x|=1.

14.11.2012, 00:14

Threadersteller

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Zitat:

Original von Mulder

Zitat:

Original von Threadersteller
Ich muss doch nur zeigen, für welche x der Gesamtbetrag $\begin{eqnarray*} |\frac{1}{1+\frac{1}{n}} * x| < 1 \end{eqnarray*}$ ist für fast alle n ?

Nein! Das allein reicht nicht! Ich dachte, das hatten wir schon? Das Quotientenkriterum verlangt doch:

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \leq q <1 \end{eqnarray*}$

Für fast alle n. Das heißt, fast alle Summanden müssen betragsmäßig kleinergleich einer festen Zahl q<1 sein. Das ist aber nicht gegeben, wenn der Grenzwert des Quotienten 1 beträgt. Zwar sind dann nach wie vor alle Summanden echt kleiner 1, aber sie kommen beliebig nahe an 1 ran. Daher kannst du kein passendes q angeben, wenn du x=1 oder x=-1 wählst.

In deinem letzten Post hattest du aber eben gesagt, es wäre auch richtig, wenn |x|=1 ist. Stimmt aber nicht. Ist |x|<1, dann haben wir hier:

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \leq q <1 \end{eqnarray*}$

erfüllt mit |x|=q als richtige Wahl. Dann haut's hin. Aber eben nicht für |x|=1.

Okay, vielen Dank für deine Hilfe. Du hast mir echt weitergeholfen. Ich möchte nicht nur die Aufgabenlösung sondern auch verstehen warum.
Gute Nacht.

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