Beweis abelsche Gruppe

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Mayas Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis abelsche Gruppe
Hallo smile

Meine Aufgabe lautet:

Sei G eine Gruppe, sodass ord(x) = 2, für alle Elemente
x element G − {e}. Beweisen Sie, dass G abelsch ist.

Mich verwundert das ord(x)=2. Ich kann damit nichts anfangenunglücklich


Für abelsche Gruppe brauch ich: assoziativität, kommutativität, neutrale element und ein inverses element.

Könnte mir jemand auf die Sprünge helfen, da ich mit der formulierten Aufgabenstellung kein Anfang finde unglücklich


Danke im voraus.
Mayas Auf diesen Beitrag antworten »

* G - {e} smile
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Kennst du die Formel für in Gruppen?
Mayas Auf diesen Beitrag antworten »

na ich weiß:

ab = ((ab)^(-1))^(-1)
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, das hat aber mit ab (=Produkt von a und b) nichts zu tun... Deine Formel würde man wohl eher so schreiben:

Mayas Auf diesen Beitrag antworten »

also (a*b)*(b^-1 * a^-1) = a*(b*b^-1)*a^-1=a*e*a^-1=a*a^-1=e
und dann noch andersherum.

aber x element G - {e}...
 
 
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also halten wir fest, dass gilt



Kannst du aufgrund der Eigenschaft



die ja nach Voraussetzung gilt, irgend etwas über die Elemente aussagen?
Mayas Auf diesen Beitrag antworten »

a ist zu a^-1 inverse elment, dann a*a^-1=e
b zu b^-1, dann b*b^1=e
und ((ab)^-1)^-1 ist gleich ab
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mayas
a ist zu a^-1 inverse elment, dann a*a^-1=e
b zu b^-1, dann b*b^1=e
und ((ab)^-1)^-1 ist gleich ab

Oje, ich hab vorhin glatt übersehn, dass das hier ja nichtzielführend ist, sondern nur eine allgemeine Definition ist, die in beliebigen Gruppen gilt... Stellen wir die Frage also direkter:

Was ist hier konkret(!) , wenn man verwendet, dass gilt



Und bitte jetzt nicht noch einmal mit allgemeinen Tatsachen in Gruppen kommen, sondern (*) auch wirklich verwenden!
Mayas Auf diesen Beitrag antworten »

meinst du das damit was ich vorhin geschrieben hab:

(a*b)*(b^-1 * a^-1) = a*(b*b^-1)*a^-1=a*e*a^-1=a*a^-1=e

(b^-1*a^-1)*(a*b) = b^-1(a^-1*a)*b=b^-1*e*b=b^-1*b=e

-> (a+b)^-1 = b^-1*a^-1

oder bin ich hier komplett auf dem falschen Pfad?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit



war noch in Ordnung und das braucht man ja auch hier... Leider bist du aber noch immer die Antwort auf die anderen Fragen schuldig... unglücklich
Mayas Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab mich grad nochmal mit der ordinalität vertraut gemacht.

das bedeutet, dass jedes element selbstinvers ist, also x^-1=x.

ist das schon mal einen schritt weiter? und wenn wie übertrag ich das?
Mayas Auf diesen Beitrag antworten »

also wenn es stimmt, dann ist:

x²=e und x^-1=x

also: x*x=e

dann x^-1= x |*x

->x^-1*x=x*x

-> e = x²

komplett falsch oder einen schritt weiter?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, was wären somit die Antworten auf meine obigen Fragen:

Endoflex Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab das gleiche problem...
Mayas Auf diesen Beitrag antworten »

meinst du damit a^-1=a,b^-1=b,(ab)^-1=ab ?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das meinte ich und hoffentlich ist dir das auch wirklich klar... Wenn man also alles zusammenfügt, dann gilt:



d.h., das ist insgesamt ein Einzeiler...
Mayas Auf diesen Beitrag antworten »

das wars schon geschockt

kann ich das auch wirklich mit a und b schreiben?

und ist das nicht ein bisschen knapp, da ich auf die aufgabe 7 punkte gibt.
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, klar.
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