Primkörper

13.11.2012, 19:52

Tenacious

Primkörper

Hallo,

ich hab das Thema in der Vorlesung so gut wie gar nicht verstanden. Demzufolge bereitet mir die folgende Aufgabe auch ziemliche Schwierigkeiten:

"Man zeige: zu jedem $\begin{eqnarray*} \overline x\in \mathbb F_{p}* \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} i\leq p-2 \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} \overline x^{-1} = \overline x^{i} \end{eqnarray*}$ ."

Könnte mir jemand die Aufgabe etwas anschaulicher erklären? Einen groben Überblick über das Thema hab ich ja smile

13.11.2012, 20:06

Mystic

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RE: Primkörper
Naja, eigentlich hat das ja mehr mit Gruppentheorie zu tun...

In jeder endlichen Gruppe G gilt nämlich

$\begin{eqnarray*} a^{|G|}=e \quad \forall a \in G \end{eqnarray*}$

wobei e das Einselement der Gruppe ist...

14.11.2012, 08:48

Tenacious

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Ich seh nicht so richtig was das Einselement einer Gruppe mit der Aufgabe zu tun hat :/ ?

14.11.2012, 09:01

Mystic

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Hm, vielleicht solltest einmal obige Gleichung für deine Gruppe anschreiben, um das zu sehen...

14.11.2012, 12:56

Tenacious

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Aber $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{p} \end{eqnarray*}$ ist doch ein Körper und keine Gruppe, oder lieg ich da jetzt komplett daneben?

Mit $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{p} = \big\{ \overline 0, \overline 1, \overline 2, ... ,\overline {p-1} \big\} \end{eqnarray*}$

14.11.2012, 13:28

Mystic

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Wenn du mich schon so direkt fragst: Ja, du liegst komplett daneben, denn wenn du die Aufgabenstellung noch einmal aufmerksam durchliest, wirst du feststellen, das da von $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_p^* \end{eqnarray*}$ , also der multiplikativen Gruppe des Körpers $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_p \end{eqnarray*}$ die Rede ist und in dieser spielt sich alles hier ab... Lehrer

14.11.2012, 14:02

Tenacious

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Zitat:

Original von Mystic
Wenn du mich schon so direkt fragst: Ja, du liegst komplett daneben, denn wenn du die Aufgabenstellung noch einmal aufmerksam durchliest, wirst du feststellen, das da von $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_p^* \end{eqnarray*}$ , also der multiplikativen Gruppe des Körpers $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_p \end{eqnarray*}$ die Rede ist und in dieser spielt sich alles hier ab... Lehrer

Ja stimmt...jetzt wo du es sagst.

Also ist $\begin{eqnarray*} \overline x^{p-1} = e \end{eqnarray*}$ ?

14.11.2012, 14:27

Mystic

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Richtig... Und was ist somit das Inverse von $\begin{eqnarray*} \bar x \end{eqnarray*}$ ?

14.11.2012, 17:26

Tenacious

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Das ist dann $\begin{eqnarray*} x^{-1} = \frac{\overline x^{p-1}}{\overline x} = \overline x^{p-2} \end{eqnarray*}$

Bin ich dann jetzt schon fertig? Oder muss ich noch zeigen dass $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} < p-2 \end{eqnarray*}$ sein kann?

14.11.2012, 21:39

Mystic

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Nein, im Sinne der Aufgabenstellung war's das... Wink

15.11.2012, 10:17

Tenacious

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Super danke erstmal smile

Aber um ehrlich zu sein hab ich $\begin{eqnarray*} a^{|G|}=e \quad \forall a \in G \end{eqnarray*}$ zum ersten Mal gesehen. Und da es nicht im Vorlesungsskript steht, werde ich das auch noch allgemein beweisen müssen bevor ich es dann für die Aufgabe verwende. Irgendwelche Tipps dafür?

15.11.2012, 10:46

Mystic

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Das gilt zwar allgemein in endlichen Gruppen, aber wenn die Gruppe G außerdem abelsch ist, dann ist der Nachweis besonders einfach... Ist nämlich

$\begin{eqnarray*} G=\{a_1,a_2,\ldots,a_n\} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} a \in G \end{eqnarray*}$ beliebig, so gilt dann

$\begin{eqnarray*} \{aa_1,aa_2,\ldots,aa_n\}=\{a_1,a_2,\ldots,a_n\} \end{eqnarray*}$

Jetzt einfach das Produkt auf beiden Seiten nehmen und kürzen...

15.11.2012, 10:55

Tenacious

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Ja das macht Sinn. Vielen Dank smile

Mit deinen Hilfestellungen erscheint die Aufgabe eigentlich recht simpel. Daran muss ich mich wohl erst noch gewöhnen, dass die Aufgaben meist kompliziert gestellt sind, aber eigentlich etwas ganz einfaches meinen.

15.11.2012, 11:03

Mystic

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Gerne...Man muss nur beharrlich (=tenaciously) an einer Sache dran bleiben und zum Schluss dann alle Irrwege streichen... Wink

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