Extremwertaufgabe

13.11.2012, 20:05

Lk-Mathe

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Extremwertaufgabe

Meine Frage:
Hey Leute,
wollte nochmal Extremwertaufgaben wiederholen und habe gemerkt, dass ich wohl alles vergessen hab.. Hoffe ihr könnt mir helfen.

Aus 6 Stäben der Länge L=4m wird ein Zeltgerüst aufgebaut, das die Form einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide hat. Für welche Zelthöhe h ergibt sich ein maximales Volumen?

Also ich weiß ja, dass das Volumen einer allg. Pyramide ist:
V=1/3 * A * h ist (A für die Grundfläche)

Wie genau heißt aber die Volumenformel einer sechseckigen Pyramide?

Oder kann ich die Pyramide in 6 teilen und dann sozusagen von einer Pyramide ausgehen.. Hauptsache max. Volumen bei einem bestimmten h?

Meine Ideen:

13.11.2012, 20:22

sulo

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RE: Extremwertaufgabe
Die Volumenformel aller Pyramiden ist gleich: 1/3 * G * h.

Was wolltest du sonst noch wissen?

smile

smile

13.11.2012, 20:25

Lk-Mathe

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RE: Extremwertaufgabe
Kann ich bei dieser Aufgabe einfach sozusagen 1/6 Teil der Pyramide betrachten? Wäre das nicht dasselbe Ergebnis?
Dann hätte ich es nämlich nur noch mit einer Pyramide mit einer dreieckigen Grundfläche zu tun..

13.11.2012, 20:31

sulo

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RE: Extremwertaufgabe
Wo ist das Problem, eine dreieckige Grundfläche zu versechsfachen? verwirrt

verwirrt

Ich wäre da auch sehr vorsichtig, weil du ja s gegeben hast. Du musst also die Höhe über eine der Ecken legen, ansonsten wird deine Sechstelpyramide zu niedrig. Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.11.2012, 20:37

Lk-Mathe

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RE: Extremwertaufgabe
hmm.. okay, ich betrachte dann die ganze pyramide..

Dann wäre die Grundfläche ja (ich nenne die äußere seiten jetzt mal a und die von a/2 zur pyramidenmitte reichende b, und die von den kanten zur mitte=c)

Grundfläche:

$\begin{eqnarray*} 6*(\frac{\frac{a}{2}*b }{2} ) \end{eqnarray*}$

Pyramidenvolumen:

$\begin{eqnarray*} V= \frac{1}{3} * (6*(\frac{\frac{a}{2}*b }{2} )) *h \end{eqnarray*}$

Soweit richtig?

Ich weiß nicht genau, wie es jetzt weiter geht..

13.11.2012, 20:43

sulo

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RE: Extremwertaufgabe
Die Pyramidengrundfläche besteht aus 6 gleichseitigen Dreiecken.
Du kannst die Grundfläche eines solchen Dreiecks mit Hilfe des Pythagoras nur mit a ausdrücken. Das solltest du zuerst mal tun.

Abgesehen davon wäre die Grundfläche eines Dreiecks a·b/2, des Sechsecks somit 3a·b, wobei b = Höhe über a (= ha).

smile

smile

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13.11.2012, 20:48

Lk-Mathe

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RE: Extremwertaufgabe
huch, hab dann immer nur die hälfte der grundfläche berechnet ^^'

achja und die seiten sind ja alle =a

okay, dann

$\begin{eqnarray*} V= \frac{1}{3}*6*\frac{a^{2} }{2} *h \end{eqnarray*}$

also dann wäre das doch =

$\begin{eqnarray*} V= a^{2}*h \end{eqnarray*}$

13.11.2012, 20:52

sulo

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RE: Extremwertaufgabe
Wie gesagt, du musst das h (Höhe über a, allerdings meine ich damit die Dreieckseite) durch den Pythagoras ersetzen.

Ich habe nicht von der Körperhöhe hk, also der Höhe der Pyramide gesprochen. So weit sind wir noch gar nicht. Erst mal muss die Grundfläche in Abhängigkeit von a ausgedrückt werden.
Das Pyramidenvolumen kommt erst später.

Kümmere dich also erst mal um ein gleichseitiges Dreieck. smile

smile

13.11.2012, 21:01

Lk-Mathe

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RE: Extremwertaufgabe
hmmm..

Meinst du jetzt mit "h durch Phytagoras ersetzen":

$\begin{eqnarray*} h_{a} =\sqrt{l^{2}-h_{k} ^{2} } \end{eqnarray*}$

??

13.11.2012, 21:03

Lk-Mathe

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RE: Extremwertaufgabe
oder meinst du :

$\begin{eqnarray*} h_{a} = \sqrt{a^{2} - (\frac{a}{2})^{2} } \end{eqnarray*}$

13.11.2012, 21:05

sulo

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RE: Extremwertaufgabe
Ja, letzteres meine ich. Freude

Freude

Diesen Wurzelausdruck kannst du noch vereinfachen.

smile

smile

13.11.2012, 21:08

Lk-Mathe

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RE: Extremwertaufgabe
mein Rechner sagt:

$\begin{eqnarray*} \frac{| a |*\sqrt{3} }{2} \end{eqnarray*}$ stimmt das so?

13.11.2012, 21:11

sulo

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RE: Extremwertaufgabe
Im Prinzip ja, die Betragsstriche können wir wegfallen lassen, weil a ja positiv sein muss.

smile

smile

13.11.2012, 21:25

Lk-Mathe

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RE: Extremwertaufgabe
und jetz? jetzt habe in die Grundfläche in Abhängigkeit von a

$\begin{eqnarray*} G= 6* \frac{a}{2} *\frac{a*\sqrt{3} }{2} \end{eqnarray*}$

das ist:

$\begin{eqnarray*} G= \frac{3*a^{2}*\sqrt{3} }{2} \end{eqnarray*}$

13.11.2012, 21:29

sulo

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RE: Extremwertaufgabe
Sehr schön, das ist das Sechseck, die Grundfläche der Pyramide. Freude

Freude

Ich würde es so schreiben: $\begin{eqnarray*} G = \frac{3}{2} a^2 \sqrt {3}. \end{eqnarray*}$

13.11.2012, 21:29

Lk-Mathe

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RE: Extremwertaufgabe
okay Big Laugh

Big Laugh

jetzt gehts ran an das volumen ^^

Muss ich jetzt die Höhe der Pyramide durch L und mein ha darstellen?

13.11.2012, 21:38

sulo

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RE: Extremwertaufgabe
Hmm, wenn du die Körperhöhe mit ha darstellen willst, musst du über die Höhe der Seite gehen. Das kannst du machen, die Seitenhöhe kannst du mit s (= L) und a/2 errechnen.

Die zweite Möglichkeit ist, die Körperhöhe direkt mit s (= L = 4m) und mit der Grundseite der Dreiecke (a) darzustellen.

smile

smile

13.11.2012, 21:45

Lk-Mathe

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RE: Extremwertaufgabe
also die Seitenhöhe:

$\begin{eqnarray*} s= \sqrt{4^{2}-\frac{a}{2} ^{2} } \end{eqnarray*}$

somit wäre die Höhe der pyramide:

$\begin{eqnarray*} h={\sqrt{\sqrt{4^{2}-\frac{a}{2} ^{2} } - (\frac{a}{2}*\sqrt{3}) ^{2} } } \end{eqnarray*}$

13.11.2012, 21:48

sulo

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RE: Extremwertaufgabe
Hmm, sei froh, dass es viel einfacher ist ... Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} s^2 = h_k^2 + a^2 \end{eqnarray*}$

s ist gegeben, somit: $\begin{eqnarray*} 16 = h_k^2 + a^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt nach hk umstellen und in die Volumenformel einsetzen.

smile

smile

13.11.2012, 21:53

Lk-Mathe

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RE: Extremwertaufgabe
achso ich dachte s soll die mantelhöhe sein.. naja egal, so ist es wirklich viel einfacher Big Laugh

Big Laugh

also s=4=L
..okay

Dann habe ich für h:

$\begin{eqnarray*} h= \sqrt{16-a^{2} } \end{eqnarray*}$

13.11.2012, 21:55

sulo

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RE: Extremwertaufgabe
Genau. Freude

Freude

Schaut doch etwas angenehmer als dein Ungetüm von eben aus. Augenzwinkern

Augenzwinkern

So, und jetzt kannst du das Pyramidenvolumen als V(a) ausdrücken.

smile

smile

13.11.2012, 21:55

Lk-Mathe

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RE: Extremwertaufgabe
$\begin{eqnarray*} V= \frac{a^{2}*\sqrt{-3*(a^{2}-16) } }{2} \end{eqnarray*}$

13.11.2012, 22:02

sulo

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RE: Extremwertaufgabe
Hmm, ich würde die Wurzeln ein wenig trennen, das wird leichter beim Ableiten. Ich kann auch nicht erkennen, wo das Minus vor der 3 herkommt...

$\begin{eqnarray*} V(a)= \frac{\sqrt{3}}{2}*a^2* \sqrt{16-a^2} \end{eqnarray*}$

smile

smile

13.11.2012, 22:02

Lk-Mathe

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RE: Extremwertaufgabe
So.. ich hab jetzt die erste Ableitung gebildet und =0 gesetzt, komme auf
$\begin{eqnarray*} \frac{4*\sqrt{6} }{3} \end{eqnarray*}$

hab das jetzt bei h eingesetzt und komme auf eine Höhe von 2,31m (gerundet)

13.11.2012, 22:03

Lk-Mathe

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RE: Extremwertaufgabe
ich weiß auch nicht, wo das minus herkommt.. das macht der rechner bei mir ^^

13.11.2012, 22:13

sulo

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RE: Extremwertaufgabe

Zitat:

Original von Lk-Mathe
So.. ich hab jetzt die erste Ableitung gebildet und =0 gesetzt, komme auf
$\begin{eqnarray*} \frac{4*\sqrt{6} }{3} \end{eqnarray*}$

hab das jetzt bei h eingesetzt und komme auf eine Höhe von 2,31m (gerundet)

Prima, das ist richtig. Freude

Freude

13.11.2012, 22:18

Lk-Mathe

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RE: Extremwertaufgabe
als max. Volumen hab ich 21,33 m^3

Danke für deine geduldige und echt tolle Hilfe smile

smile

13.11.2012, 22:19

sulo

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RE: Extremwertaufgabe
Ja, das Volumen ist auch richtig. Freude

Freude

Gern geschehen. Wink

Wink

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