Probleme beim Lösen von Brüchen mit x

13.11.2012, 20:33

Snipes04

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Probleme beim Lösen von Brüchen mit x

Meine Frage:
Hi Leute,

ich bin gerade dabei ein paar Übungen aus dem Vorkurs durchzugehen, allerdings komme ich bei den folgenden beiden Teilaufgaben nicht weiter.

a) $\begin{eqnarray*} \frac{3-x}{x²-4}+\frac{2x+1}{x²-4x+4} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} \frac{3}{\frac{x+3}{x-2}}+\frac{\frac{x-102}{x-4}}{x+3} \end{eqnarray*}$

Die Lösungen habe ich und sehen wie folgt aus:

zu a) $\begin{eqnarray*} \frac{x²+10x-4}{(x+2)*(x-2)²} \end{eqnarray*}$

zu b) $\begin{eqnarray*} \frac{3x²-17x-78}{(x+3)*(x-4)}= \frac{3x-26}{x-4} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
zu a) habe ich mir überlegt, den Zähler um den Nenner des jeweils anderen Bruchs zu erweitern und dann auszurechnen:

$\begin{eqnarray*} \frac{(3-x)*(x²-4x+4)}{(x²-4)*(x²-4x+4)} +\frac{(2x+1)*(x²-4)}{(x²-4x+4)*(x²-4)} \end{eqnarray*}$

Allerdings erhalte ich Werte im Zahler mit x^3 und werte im Nenner mit x^4

zu b): ich würde den 2ten Nenner um den Faktor /(x-2) erweitern, allerdings Blicke ich dann in dem Nenner nicht mehr durch:
$\begin{eqnarray*} \frac{3}{\frac{x+3}{x-2} }+\frac{\frac{\frac{x-102}{x-4} }{x-2} }{\frac{x+3}{x-2} } \end{eqnarray*}$

Wie ist da der Rechenweg? ich hoffe ihr könnt mir helfen smile

smile

Snipes

13.11.2012, 20:37

sulo

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RE: Probleme beim Lösen von Brüchen mit x
Fangen wir mit dem ersten Bruch an. Da solltest du erst mal an die binomischen Formeln denken, bevor du mit den ganzen Nennern erweiterst.

smile

smile

13.11.2012, 20:44

Snipes04

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3 bin formel $\begin{eqnarray*} \frac{3-x}{(x-2)*(x+2)} \end{eqnarray*}$

13.11.2012, 20:46

sulo

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Nicht ganz. Bedenke, dass 4 ja das Quadrat von b ist und dass 4x = 2ab sind.

smile

smile

edit: Ok, nun stimmt es. Freude

Freude

13.11.2012, 20:52

Snipes04

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ok dann sieht das wie folgt aus:
$\begin{eqnarray*} \frac{(3-x)*(x-2)²}{(x-2)(x+2)(x-2)²} =\frac{(3-x)*(x-2)}{(x+2)(x-2)²} \end{eqnarray*}$

ist das so richtig?

also das (x-2) aus dem nenner kürze ich mit dem ² aus dem zähler weg

13.11.2012, 20:54

sulo

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Ja, der erste Bruch ist jetzt soweit fertig. Freude

Freude

Gleiches musst du mit dem zweiten Bruch machen. Dann kannst du die Zähler ausmultiplizieren, zusammenfassen und alles auf einen Bruchstrich schreiben und nochmal zusammenfassen.
Du kannst diese Reihenfolge auch gerne ändern. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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13.11.2012, 20:59

Snipes04

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Zitat:

Original von sulo
Ja, der erste Bruch ist jetzt soweit fertig. Freude

Freude

Gleiches musst du mit dem zweiten Bruch machen. Dann kannst du die Zähler ausmultiplizieren, zusammenfassen und alles auf einen Bruchstrich schreiben und nochmal zusammenfassen.
Du kannst diese Reihenfolge auch gerne ändern. Augenzwinkern

Augenzwinkern

d.h. den zweiten bruch erweitere ich im zähler sowie im nenner um (x-2)(x+2)?

13.11.2012, 21:00

sulo

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Nein, das ist ein Klammerterm zu viel.

Wie heißt denn der Nenner des zweiten Bruchs als Binom?

smile

smile

13.11.2012, 21:04

Snipes04

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Zitat:

Original von sulo
Nein, das ist ein Klammerterm zu viel.

Wie heißt denn der Nenner des zweiten Bruchs als Binom?

smile

smile

(x-2)² oder nicht?

13.11.2012, 21:07

sulo

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Ja, genau. Freude

Freude

Es fehlt also nur noch (x + 2)

PS: Beim Antworten bitte nicht auf "zitieren" drücken sondern auf "antworten", die Vollzitate stören nur den Lesefluss. Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.11.2012, 21:09

Snipes04

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dann komme ich auf foglendes:
$\begin{eqnarray*} \frac{(2x+1)(x+2)}{(x-2)²*(x+2)} \end{eqnarray*}$

kleiner stellensprung mit ²

13.11.2012, 21:13

sulo

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Hmm, das ² müsste hinter die Klammer, nicht davor. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ansonsten stimmt es. Nun nur noch ausmultiplizieren und zusammenfassen.

smile

smile

13.11.2012, 21:14

Snipes04

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$\begin{eqnarray*} \frac{-x²+3x-12}{(x-2)²(x+2)} +\frac{2x²+5x+2}{(x-2)²(x+2)} =\frac{x²+8x+10}{(x-2)²(x+2)} \end{eqnarray*}$

soweit hab ichs kapiert Augenzwinkern

Augenzwinkern

, allerdings stimmt es dann nicht mit der eigtnlichen Lösung überein, kommt ihr allerdings sehr nahe. Mein fehler oder fehler in der Lösung?

13.11.2012, 21:18

sulo

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$\begin{eqnarray*} \frac{-x²+\color{red}3\color{black}x-\color{red}12\color{black}}{(x-2)²(x+2)} +\frac{2x²+5x+2}{(x-2)²(x+2)} \end{eqnarray*}$

Ich habe dir deine Fehler mal markiert. smile

smile

13.11.2012, 21:24

Snipes04

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ja, sehe es gerade auch was für einen driss ich da gerechnet habe... smile

smile

also das ergebniss stimmt dann soweit und ich kann es nachvollziehen Augenzwinkern

Augenzwinkern

danke
kurze frage hätte ich da aber noch: warum kann ich nicht beim ersten bruch das (x-2) im zähler mit dem ² aus (x-2)² des nenners wegkürzen?

13.11.2012, 21:34

sulo

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Meinst du diese Stelle?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{(3-x)*(x-2)²}{(x-2)(x+2)(x-2)²} =\frac{(3-x)*(x-2)}{(x+2)(x-2)²} \end{eqnarray*}$

Kann es sein, dass du da was editiert hast, während ich die Antwort schrieb und ich die Änderung es nicht mehr bemerkt habe? verwirrt

verwirrt

Es war von Anfang an nicht notwendig, auf den ersten Bruch zu erweitern.
Du kannst den ursprünglichen Bruch mit (x-2) in Zähler und Nenner erweitern und kommst direkt auf die Darstellung rechts vom Gleichheitszeichen.

smile

smile

13.11.2012, 21:43

Snipes04

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ja genau diese stelle mit dem Bruch nach dem Komma meine ich. Ok nach kurzem rätseln kann ich deine Aussage jetzt nachvollziehen smile

smile

Danke schnmal für die tolle hilfe Augenzwinkern

Augenzwinkern

wie sieht es bei der b) aus?

13.11.2012, 21:45

sulo

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Bei b) würde ich zunächst die Brüche vereinfachen. Mache aus den Doppelbrüchen Einfachbrüche.
Wie man durch Brüche dividiert, weißt du sicher noch. Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.11.2012, 21:48

Snipes04

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meinst du etwa so?

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{\frac{x+3}{1}*\frac{1}{x-2}} \end{eqnarray*}$

13.11.2012, 21:52

sulo

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Nicht wirklich...

Ich meine eher so: $\begin{eqnarray*} \frac{3}{\frac{x+3}{x-2}} =\frac{\frac{3}{1}}{\frac{x+3}{x-2}} =\frac{3(x-2)}{1(x+3)} \end{eqnarray*}$

... um es mal in aller Ausführlichkeit aufzuschreiben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.11.2012, 22:03

Snipes04

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... habs leider nicht so mit Brüchen...

bei dem zweiten Bruch wäre es dann:
$\begin{eqnarray*} =\frac{\frac{x-102}{1}*\frac{1}{x-4}}{x+3} = \frac{x-102}{1}*\frac{1}{x-4}*\frac{x+3}{1}= \frac{(x-102)*(x+3)}{x-4} \end{eqnarray*}$

13.11.2012, 22:11

sulo

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Nicht ganz, das (x+3) gehört in den Nenner...

$\begin{eqnarray*} =\frac{\frac{x-102}{1}*\frac{1}{x-4}}{x+3} = \frac{x-102}{1}*\frac{1}{x-4}*\frac{1}{x+3}= \frac{x-102}{(x-4)*(x+3)} \end{eqnarray*}$

smile

smile

13.11.2012, 22:21

Snipes04

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d.h. gu vereinfachst nach diesem Prinzip (in kurzform)? s. Anhang

13.11.2012, 22:24

sulo

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Ja genau.

Freude

Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert multipliziert.
Alter Merksatz aus der sechsten Klasse. Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.11.2012, 22:26

Snipes04

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ok gut, habe es auch jetzt eben so ausgerechnet und ich komme auf das richtige ergebnis smile

smile

DANKE!!!

Freude

tja jetzt ist es wieder drinne smile

smile

13.11.2012, 22:28

sulo

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Schön, dann hat sich es ja gelohnt, die Aufgaben zu besprechen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wink

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