Beweise von Grenzwerten

13.11.2012, 20:49

nanarobo

Beweise von Grenzwerten

Meine Frage:
Ich muss beweisen, dass der Limes von n--> unendlich von n*Wurzel(1-(1-a/n)(1-b/n)= (a+b)/2 ist.

Meine Ideen:
Leider habe ich überhaupt keine Idee wie das funktionieren soll und bitte dringend um Hilfe!

13.11.2012, 21:00

Q-fLaDeN

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Leider kann man aufgrund von unkonsequenter Klammersetzung nicht ganz sehen was du meinst.

Etwa

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} n \cdot \sqrt{1-\left(1-\frac a n \right) \left(1-\frac b n\right)} \end{eqnarray*}$

?

14.11.2012, 09:16

nanarobo

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Oh ja, jetzt sehe ich es auch. Tut mir Leid! So wie Du es geschrieben hast ist es natürlich richtig.

14.11.2012, 10:01

Bronco Bamma

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Zitat:

Original von nanarobo
Oh ja, jetzt sehe ich es auch. Tut mir Leid! So wie Du es geschrieben hast ist es natürlich richtig.

Hmh, aber

$\begin{eqnarray*} n \sqrt{1-\left(1-\frac a n \right) \left(1-\frac b n\right)}=\sqrt{an+bn-ab}\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow} \infty \end{eqnarray*}$

Also ist da immer noch der Wurm drin...

14.11.2012, 10:35

nanarobo

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[attach]26679[/attach]

So ist es gegeben.

14.11.2012, 11:24

Bronco Bamma

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Jaha, dann sieht die Sache schon wieder ganz anders aus.
Warum hast Du denn zunächst der Wurzel die 1 untergejubelt???

Wie auch immer - mit der Ungleichung zwischen arithmetischem, geometrischem und harmonischem Mittel bist Du hier sofort fertig, denn daraus folgt letztendlich:

$\begin{eqnarray*} \frac{a+b}2\leq n\left(1-\sqrt{\left(1-\frac an\right)\left(1-\frac bn\right)}\right)\leq\frac{(a+b)-\frac{2ab}n}{2-\frac{a+b}n}. \end{eqnarray*}$

14.11.2012, 11:41

nanarobo

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Oh oh oh wenn es schon am abschreiben mangelt :-(
Ich danke Dir für Deine Hilfe, allerdings kann ich damit nichts anfangen, denn das sagt mir absolut nichts. Bis jetzt mussten wir immer soweit umformen bis das Ergebnis da stand.

14.11.2012, 11:43

HAL 9000

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Ja, mit der Kenntnis, aber vor allem auch der Anwendung von AMGMHM sieht's finster aus bei unseren Schülern und Studenten. Augenzwinkern

Ein Alternativweg geht - wie so oft bei derartigen Grenzwerten - über die dritte binomische Formel

$\begin{eqnarray*} n\left(1-\sqrt{\left(1-\frac{a}{n}\right)\left(1-\frac{b}{n}\right)}\right) = n\frac{1-\left(1-\frac{a}{n}\right)\left(1-\frac{b}{n}\right)}{1+\sqrt{\left(1-\frac{a}{n}\right)\left(1-\frac{b}{n}\right)}} = \frac{a+b-\frac{ab}{n}}{1+\sqrt{\left(1-\frac{a}{n}\right)\left(1-\frac{b}{n}\right)}} \to \frac{a+b}{2} \end{eqnarray*}$

14.11.2012, 11:56

Bronco Bamma

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Ja, das ist wohl so!

Aber auch beim Alternativweg ist Vorsicht geboten, da dort einzubringen ist, dass:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sqrt{\left(1-\frac{a}{n}\right)\left(1-\frac{b}{n}\right)}=1 \end{eqnarray*}$

was man über - zu diesem Zeitpunkt i.d.R. unbekannte - bestimmte Eigenschaften der Wurzel folgern kann oder man schätzt eben, z.B. mit GMHM, ab.

14.11.2012, 12:08

nanarobo

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Vielen lieben Dank für Eure Hilfe !!!

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