Anzahl von Permutation fuer Gleichung

13.11.2012, 20:53

chris95

Anzahl von Permutation fuer Gleichung

Hi Leute,

ich hab folgende Ungewoehnliche Frage.

Ich hab die Gleichung:

$\begin{eqnarray*} E=2 x + 2 y +z\;\;\;\; E,x,y,z \in \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$

Nun ist meine Frage:

Wie viele Tupel $\begin{eqnarray*} (x,y,z) \end{eqnarray*}$ gibt es fuer ein gegebenes E?

Kann man da eine Formel finden?

Z.B.

E=0 => (0,0,0) erfuellt die Gleichung, also 1
E=1 => (0,0,1) erfuellt die Gleichung, also wieder 1
E=2 => (1,0,0),(0,1,0),(0,0,2) erfuellen die Gleichung, also 3.

Gibt es dafuer auch eine Formel? Wenn ja, wie finde ich sie.

Danke fuer eure Hilfe.

Viele Gruesse,
chris

14.11.2012, 07:48

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst mal ist die Anzahl der Tripel äquivalent zur Anzahl der Paare $\begin{eqnarray*} (x,y)\in \mathbb{N}_0^2 \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} 2x+2y \leq E \end{eqnarray*}$ ,

denn $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ergibt sich dann ja automatisch. Diese Ungleichung wiederum ist äquivalent zu

$\begin{eqnarray*} x+y \leq \left\lfloor \frac{E}{2} \right\rfloor =: F \end{eqnarray*}$ ,

deren Lösungsanzahl ist $\begin{eqnarray*} \binom{F+2}{2} = \frac{(F+2)(F+1)}{2} \end{eqnarray*}$ .

14.11.2012, 09:07

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

@ Hal 9000

Ich habe mal mit deinem formalen Ansatz die Anzahl der möglichen Tupel berechnet, und zwar für E=3.

Daraus ergibt sich für mich:

$\begin{eqnarray*} \left\lfloor \frac{E}{2} \right\rfloor= \left\lfloor \frac{3}{2} \right\rfloor=2 \end{eqnarray*}$

Eingesetzt in die Formel:

$\begin{eqnarray*} \frac{(2+2)(2+1)}{2}=6 \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt mal alle möglichen Tupel aufschreibe, habe ich:

x y z
1 0 1
0 1 0
0 0 3

Bei mir sind es somit nur drei mögliche Tupel.

Habe ich eine andere Idee? Leider nicht. unglücklich

Grüße.

14.11.2012, 09:30

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kasen75
Daraus ergibt sich für mich:

$\begin{eqnarray*} \left\lfloor \frac{E}{2} \right\rfloor= \left\lfloor \frac{3}{2} \right\rfloor=2 \end{eqnarray*}$

Für mich (und wohl auch alle anderen) ergibt das aber 1... Augenzwinkern

14.11.2012, 10:03

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es, denn ich habe nicht von $\begin{eqnarray*} F \stackrel{?}{=} \left\lceil \frac{E}{2} \right\rceil \end{eqnarray*}$ , sondern von $\begin{eqnarray*} F = \left\lfloor \frac{E}{2} \right\rfloor \end{eqnarray*}$ gesprochen. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Kasen75
Wenn ich jetzt mal alle möglichen Tupel aufschreibe, habe ich:

x y z
1 0 1
0 1 0
0 0 3

Das zweite Lösungstupel lautet tatsächlich

0 1 1 .

14.11.2012, 10:11

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Für mich jetzt auch. Ich dachte immer, dass diese Art der Klammer für das Aufrunden steht. Hammer