Grenzwert einer Reihe

13.11.2012, 22:31

Threadersteller

Grenzwert einer Reihe

Meine Frage:
Für $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(3+(-1)^n)^n} \end{eqnarray*}$
soll ich die Konvergenz untersuchen und den Grenzwert bestimmen.

Meine Ideen:

Ich habe hier das Wurzelkriterium genutzt und umgeformt bis
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{1}{3+(-1)^n} < 1 \end{eqnarray*}$

Ich weiß also, dass die Reihe konvergiert. Aber wie bestimme ich nun den Grenzwert??
Also das ist ja immer 1/2 + 1/4 + 1/2 +... usw.

13.11.2012, 23:51

Causal

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwert einer Reihe
Guten Abend,

schreib dir mal die Partialsummenfolge (bis zum $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -ten Glied) auf und forme das ganze so um, dass man quasi den Grenzwert für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ berechnen kann.

Gruß, Causal

14.11.2012, 00:01

EinGast

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwert einer Reihe

Zitat:

Original von Threadersteller
Ich habe hier das Wurzelkriterium genutzt und umgeformt bis
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{1}{3+(-1)^n} < 1 \end{eqnarray*}$

hier sollte es $\begin{eqnarray*} \limsup \end{eqnarray*}$ heissen statt $\begin{eqnarray*} \lim \end{eqnarray*}$

Für den Grenzwert kannst du einfach gerade und ungerade n betrachten:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(3+(-1)^n)^n} =\sum_{\substack{n\ge 1\\ \text{$n$ gerade}}}\frac{1}{(3+(-1)^n)^n} +\sum_{\substack{n\ge 1\\ \text{$n$ ungerade}}}\frac{1}{(3+(-1)^n)^n} =.... \end{eqnarray*}$

14.11.2012, 00:11

Threadersteller

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwert einer Reihe

Zitat:

Original von Causal
Guten Abend,

schreib dir mal die Partialsummenfolge (bis zum $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -ten Glied) auf und forme das ganze so um, dass man quasi den Grenzwert für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ berechnen kann.

Gruß, Causal

Ich muss noch eben die Aufgabenstellung korrigieren: n fängt bei 0 an

also Einzel Gesamt
n= 0 1 1
n= 1 1/2 1 1/2
n= 2 1/16 1 9/16
n= 3 1/8 1 11/16
n= 4 1/256 1 177/256
Naja, man sieht, dass der Wert nur seeehr langsam steigt
aber wie hilft mir das jetz auf meinen Grenzwert zu kommen?

14.11.2012, 00:15

Threadersteller

Auf diesen Beitrag antworten »

überischtlicher
also Einzel Gesamt
n= 0 1 1
n= 1 1/2 1 1/2
n= 2 1/16 1 9/16
n= 3 1/8 1 11/16
n= 4 1/256 1 177/256

14.11.2012, 08:19

Threadersteller

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Threadersteller
überischtlicher
also Einzel Gesamt
n= 0 1 1
n= 1 1/2 1 1/2
n= 2 1/16 1 9/16
n= 3 1/8 1 11/16
n= 4 1/256 1 177/256

nochmal
überischtlicher
also Einzel Gesamt
n= 0.....1........... 1
n= 1.....1/2........ 1 1/2
n= 2.....1/16...... 1 9/16
n= 3.....1/8........ 1 11/16
n= 4.....1/256..... 1 177/256

also ich weiß, dass für
n gerade: die nächste Einzelsumme von n jeweils n² ist also sehr schnell kleiner wird
n ungerade: die nächste Einzelsumme von n jeweils n3 ist also noch schneller kleiner wird

aber welche Schlussfolgerung kann ich jetzt daraus ziehen???

14.11.2012, 09:38

Bronco Bamma

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwert einer Reihe
Es gilt ja:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2n} \frac 1{(3+(-1)^k)^k}=\sum_{k=1}^n \left(\frac 1{4^{2k}}+\frac 1{2^{2k-1}}\right). \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst Du das Ganze in zwei Summmen zerlegen und diese jeweils mit der geometrischen Summenformel auswerten.

14.11.2012, 10:34

Threadersteller

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwert einer Reihe

Zitat:

Original von Bronco Bamma
Es gilt ja:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2n} \frac 1{(3+(-1)^k)^k}=\sum_{k=1}^n \left(\frac 1{4^{2k}}+\frac 1{2^{2k-1}}\right). \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst Du das Ganze in zwei Summmen zerlegen und diese jeweils mit der geometrischen Summenformel auswerten.

Sorry aber ich weiß auch nach lesen von Wikipedia nicht welche Formel genau ich hier anwenden kann :-o

14.11.2012, 10:54

Bronco Bamma

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwert einer Reihe

Zitat:

Original von Threadersteller
Sorry aber ich weiß auch nach lesen von Wikipedia nicht welche Formel genau ich hier anwenden kann :-o

Wie wär's mit:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n q^k=\frac {1-q^{n+1}}{1-q}~. \end{eqnarray*}$

14.11.2012, 18:13

Threadersteller

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwert einer Reihe

Zitat:

Original von Bronco Bamma

Zitat:

Original von Threadersteller
Sorry aber ich weiß auch nach lesen von Wikipedia nicht welche Formel genau ich hier anwenden kann :-o

Wie wär's mit:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n q^k=\frac {1-q^{n+1}}{1-q}~. \end{eqnarray*}$

also ich habe nun

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2n} \frac 1{(3+(-1)^k)^k}=\sum_{k=1}^n \left(\frac 1{4^{2k}}+\frac 1{2^{2k-1}}\right). \end{eqnarray*}$

14.11.2012, 18:18

Threadersteller

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwert einer Reihe

Zitat:

Original von Bronco Bamma

Zitat:

Original von Threadersteller
Sorry aber ich weiß auch nach lesen von Wikipedia nicht welche Formel genau ich hier anwenden kann :-o

Wie wär's mit:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n q^k=\frac {1-q^{n+1}}{1-q}~. \end{eqnarray*}$

also ich habe nun

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n \left(\frac 1{4^{2k}}+\frac 1{2^{2k-1}}\right) \end{eqnarray*}$
getrennt in $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4^{2n}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^{2n+1}} \end{eqnarray*}$

und wenn man die einzeln ausrechnet ergibt das $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{16})^n \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} * (\frac{1}{4})^n \end{eqnarray*}$
aber was kann ich jetzt damit anfangen?

14.11.2012, 18:46

Threadersteller

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke ich habs =)

Neue Frage »

Antworten »

Grenzwert einer Reihe

Verwandte Themen