Gradient, Richtungsableitung und Taylorpolynom

14.11.2012, 03:43

HansimGlück

Gradient, Richtungsableitung und Taylorpolynom

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Hallo Spätschlafengeher oder Frühaufsteher Augenzwinkern

Ich soll die angehängte Aufgabe lösen.
a)
Gradient ist die partielle Ableitung der Funktion nach x und y als Vektor dargestellt.
Ich erhalte
grad f = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 -2x*e^{-x^2-y^2}\\ 2y*e^{-x^2-y^2} \\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Richtungsableitung:
Ich habe hierzu recherchiert und bin stets auf Aufgabenstellungen gestossen, bei denen die Richtungsableitung bzgl. eines bestimmten Vektors in einem bestimmten Punkt berechnet werden sollte.

Bei der hier zu behandelnden Aufgabe steht allerdings ".... und die Richtungsableitung in Richtung (1,0), (0,1) und $\begin{eqnarray*} (2^{\frac{-1}{2}} , 2^{\frac{-1}{2}}) \end{eqnarray*}$ ."

Was ist damit gemeint? Sind das drei Vektoren (müssten diese nicht 3 Dimensional sein?)
Und soll ich die Richtungsableitung allgemein bezüglich des Punktes (a,b) berechnen?

b)
Hierzu melde ich mich noch

Danke im Voraus!

14.11.2012, 04:41

Dopap

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RE: Gradient, Richtungsableitung und Taylorpolynom
$\begin{eqnarray*} \nabla f = \begin{pmatrix} 1 -2x*e^{-x^2-y^2}\\ -2y*e^{-x^2-y^2} \\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ müsste richtig sein.

Die Funktion $\begin{eqnarray*} h : \mathbb R^2 \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ kann man sich als Fläche im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ vorstellen, von 3-dimensionalen Vektoren oder Tupeln ist nirgends die Rede.

wenn im Punkt $\begin{eqnarray*} (a|b) \end{eqnarray*}$ in Richtung $\begin{eqnarray*} \vec u =( u_x, u_y)^T \end{eqnarray*}$ abgeleitet werden soll, dann gilt

$\begin{eqnarray*} r(a,b)= \nabla h(a,b) \bullet \frac { \binom {u_x}{ u_y}}{\sqrt{ {u_x}^2+{ u_y}^2}} \end{eqnarray*}$

also: Skalarprodukt aus Gradient im Punkte und dem Richtungseinheitsvektor.

14.11.2012, 10:10

HansimGlück

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Danke Dopap.

Zitat:

Original von Dopap
$\begin{eqnarray*} \vec u =( u_x, u_y)^T \end{eqnarray*}$

Wieso der transponierte Vektor?

14.11.2012, 11:05

HansimGlück

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b) Taylorpolynom:
Hier scheints leider schon bei der Ableitung zu scheitern...

$\begin{eqnarray*} t(x,y)=arctan(2x+y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dt}{dx}=\frac{2}{(2x+y)^2+1} \end{eqnarray*}$ Laut Wolfram Alpha (Leider ist es neuerdings nicht mehr möglich sich die einzelnen Schritte in Wolfram Alpha anzuschauen)

Ich kann die Ableitung leider nicht nachvollziehen verwirrt

14.11.2012, 12:33

HansimGlück

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Wenn mir jmd. kurz bei der Ableitung helfen könnte, würde ich mal versuchen selbständig weiter an b) Taylorpolynom zu arbeiten.

Danke

14.11.2012, 13:00

HansimGlück

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a) Richtungsableitung:
Gradient wurde bereits oben berechnet und scheint richtig zu sein.

$\begin{eqnarray*} \frac {df}{d(1,0)}=\begin{pmatrix} 1 -2x*e^{-x^2-y^2}\\ 2y*e^{-x^2-y^2} \\\end{pmatrix}* (1,0)= 1 -2x*e^{-x^2-y^2} \end{eqnarray*}$

Ist das nun die Richtungsableitung? Da nicht steht, dass die Richtungsableitung zu einem bestimmten Punkt gefragt ist, hab ich x und y einfach so stehen lassen. Bzw. könnte x,y durch a,b ersetzen, weil ich weiter oben geschrieben habe, dann wäre die Richtungsableitung bezüglich des Punktes (a,b) bestimmt?

Und die Richtungsableitung müsste ich nun für $\begin{eqnarray*} \vec x_{2}=\begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec x_{2}=\begin{pmatrix} 2^{\frac{-1}{2} }\ \ 2^{\frac{-1}{2}} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ bestimmen?

14.11.2012, 15:54

Dopap

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Zitat:

Original von HansimGlück
a) Richtungsableitung:
Gradient wurde bereits oben berechnet und scheint richtig zu sein.

wie ich schon schrieb:

$\begin{eqnarray*} \nabla f =\begin{pmatrix} 1 -2x*e^{-x^2-y^2}\\ \color{red}- \color{black} 2y*e^{-x^2-y^2} \\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Ist das nun die Richtungsableitung? Da nicht steht, dass die Richtungsableitung zu einem bestimmten Punkt gefragt ist, hab ich x und y einfach so stehen lassen. Bzw. könnte x,y durch a,b ersetzen, weil ich weiter oben geschrieben habe, dann wäre die Richtungsableitung bezüglich des Punktes (a,b) bestimmt?

das könnte man so machen.

Zitat:

Und die Richtungsableitung müsste ich nun für $\begin{eqnarray*} \vec x_{2}=\begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec x_{2}=\begin{pmatrix} 2^{\frac{-1}{2} }\ \ 2^{\frac{-1}{2}} \end{pmatrix}^{{\color{red}T}} \end{eqnarray*}$ bestimmen?

so ist es richtig.

Bem: für den Punkt und für die Richtung möglichst nicht $\begin{eqnarray*} \vec x \end{eqnarray*}$ , x oder/und y verwenden. Es besteht Verwechselungsgefahr!

14.11.2012, 16:03

HansimGlück

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$\begin{eqnarray*} \vec x_{2}=\begin{pmatrix} 2^{\frac{-1}{2} }\ \ 2^{\frac{-1}{2}} \end{pmatrix}^{{\color{red}T}} \end{eqnarray*}$
Wieso transponiert?

zu b) hab ich mittlerweile die Ableitung verstanden... war kurz verwirrt ... Hammer

und arbeite nun am Polynom.

Aja und sorry, das Minus im Gradienten hatte ich übersehen.

Danke

14.11.2012, 16:05

HansimGlück

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19.11.2012, 21:43

HansimGlück

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Zitat:

Original von HansimGlück
$\begin{eqnarray*} \vec x_{2}=\begin{pmatrix} 2^{\frac{-1}{2} }\ \ 2^{\frac{-1}{2}} \end{pmatrix}^{{\color{red}T}} \end{eqnarray*}$
Wieso transponiert?

Transponiert, weil Zeilenvektor statt Spaltenvektor, oder? Hammer

19.11.2012, 22:11

Dopap

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ja, rechts muss ein Spaltenvektor stehen.

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