Menge komplexer Zahlen zeichnen

14.11.2012, 08:49

Complius

Menge komplexer Zahlen zeichnen

Meine Frage:
Hallo,
ich möchte

$\begin{eqnarray*} \{ z \in \mathbb{C}|1< |z-1+i|<2 \} \end{eqnarray*}$ zeichnen.

Meine Ideen:
Ich habe nun $\begin{eqnarray*} |z-1+i| \end{eqnarray*}$ betrachtet:

Durch einsetzen von z=x+iy, sortieren nach Real- und Imaginärteil sowie der Formel für den Betrag erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} |z-1+i|=\sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2} \end{eqnarray*}$

Das möchte ich jetzt zeichnen, weiß aber nicht so genau wie. Ich habe schon gesehen, dass dies die Fläche zwischen zwei Kreisen mit unterschiedlichien Radien und gleichem Mittelpunkt ist. Die zwei Kreise kommen von den beiden Ungleichungen, ich sehe aber nicht, wie ich jetzt z.B. $\begin{eqnarray*} 1 < \sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2} \end{eqnarray*}$ zeichnen kann und woran ich sehe, dass dies ein Kreis ist, wo sich Radius und Mittelpunkt befinden.

Vielen Dank für eure Hilfe..

14.11.2012, 09:03

klarsoweit

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RE: Menge komplexer Zahlen zeichnen

Zitat:

Original von Complius
Ich habe schon gesehen, dass dies die Fläche zwischen zwei Kreisen mit unterschiedlichien Radien und gleichem Mittelpunkt ist.

Das mußt du mal etwas genauer erklären.

Vorschlag von mir: schreibe z - 1 + i = z - (1 - i) .
Welche z erfüllen nun die Ungleichung |z - (1 - i)| < 2 ?

14.11.2012, 09:15

Complius

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Zitat:

Das mußt du mal etwas genauer erklären.

ja, genau daran hakt es, ich habe das zwar mal gesehen, aber nicht verstanden. Deshalb frage ich..

Zitat:

Vorschlag von mir: schreibe z - 1 + i = z - (1 - i) .
Welche z erfüllen nun die Ungleichung |z - (1 - i)| < 2 ?

Alle z für die gilt (z-(1-i))<2 oder -(z-(1-i))<2.

Aus der ersten Ungleichung erhalte ich: z< 3-i
Aus der zweiten: z<-1-i

Reicht es jetzt nur eine der beiden Ungleichungen (die stärkere - welche das ist, das sehe ich noch nicht) zu betrachten? Oder geht das nicht, weil die komplexen Zahlen kein geordneter Körper sind?

14.11.2012, 09:32

klarsoweit

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Zitat:

Original von Complius
Alle z für die gilt (z-(1-i))<2 oder -(z-(1-i))<2.

Du beachtest hier nicht, daß sich die komplexen Zahlen nicht anordnen lassen.
Was bedeutet denn der Ausdruck |a - b| in Worten (nicht Formel), wenn a und b komplexe Zahlen sind?

14.11.2012, 10:55

Complius

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Das bedeutet, dass der Vektor von a nach b höchstens 2LE lang ist.

Zitat:

Welche z erfüllen nun die Ungleichung |z - (1 - i)| < 2 ?

Damit sind das alle z für die die Länge des Vektors von z nach (1-i) kleinergleich 2 ist. Also alle z die sich in einem Kreis mit Radius 2 um den Mittelpunkt 1-i befinden smile

Damit ist meine Menge A die Menge aller z für die gilt, dass sie sich in einem Abstand von mindestens 1 und höchstens 2 ( jeweils ohne den Rand wegen dem echten Kleinerzeichen) befinden, also so etwas wie ein Ring (hat das in Mathe einen Namen?)

Richtig so?

14.11.2012, 11:09

Complius

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Ein Kreisring smile