Beweis Gruppe

14.11.2012, 11:05

Endoflex

Beweis Gruppe

Hallo, ich mal wieder smile

Aufgabe:

G1 und G2 Gruppen, so lässt sich auf dem Produkt G1 x G2 die folgende Verknüpfung definieren:

(g1,g2)*(g1',g2') := (g1g1',g2g2'), wobei g1,g1' element G1 und g2,g2' element G2 beliebig.

a) Beweisen Sie G1 x G2 mit Verknüpfung wieder Gruppe bildet.

b) Zeigen Sie, dass die Gruppe Z (ganzen Zahlen) x Z nicht zyklisch ist.
Sind die Gruppen Z/4Z und Z/2Z x Z/2Z isomorph.

Erstmal zu a)

assoziativität:
(g1,g2)*((g1',g2')*(g3,g3')) = ((g1,g2)*(g1',g2'))*(g3,g3')

l.S.: (g1,g2)*(g1'g3,g2'g3') = (g1g1'g3,g2g2'g3')
r.S.: analog und ist auch (g1g1'g3,g2g2'g3').

neutrale element:
(g1,g2)*(m,n) = (g1m,g2n) = (g1,g2)

[latex]\forall [l/atex] g1,g2 (g1,g2)*(1,1) = (g1*1,g2*1) = (g1,g2)
e = (1,1)...

dazu: bei der letzten übung wurde mir beim letzten schritt, das rangeschrieben: e*(x,y) = (x,y) ?

und abgeschlossenheit fehlt...

inverses element: könnte mir da einer nen tipp sagen

Danke im voraus smile

14.11.2012, 11:17

Mystic

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RE: Beweis Gruppe
Ich würde jetzt eher $\begin{eqnarray*} e_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e_2 \end{eqnarray*}$ als neutrale Elemente von $\begin{eqnarray*} G_1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} G_2 \end{eqnarray*}$ einführen und dann zeigen, das $\begin{eqnarray*} e:=(e_1,e_2) \end{eqnarray*}$ neutrales Element von $\begin{eqnarray*} G_1 \times G_2 \end{eqnarray*}$ ist...

Naja, und zu (x,y) ist natürlich $\begin{eqnarray*} (x^{-1},y^{-1}) \end{eqnarray*}$ das Inverse, was sonst?

14.11.2012, 11:26

Endoflex

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Ja was die Inversen sind weiß ich ja, aber wie beweis ich das?

14.11.2012, 11:41

Mystic

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Zitat:

Original von Endoflex
Ja was die Inversen sind weiß ich ja, aber wie beweis ich das?

Hm, versteh ich nicht... Du hast doch oben gefragt, wie das Inverse zu (x,y) aussieht und ich hab dir die Antwort darauf gegeben... Der Beweis erfolgt natürlich durch Nachrechnen, d.h., du musst jetzt noch überprüfen, ob das von mir angegebene Element wirklich die Bedingungen für ein Inverses erfüllt..

14.11.2012, 11:52

Endoflex

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ja aber ich möchte einen ansatz wissen, wie ich es auf die aufgabe anwenden kann g1,g2 usw.

14.11.2012, 13:35

Mystic

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Ich habe oben g1 und g2 mit x und y bezeichnet, aber du kannst natürlich auch mit der Bezeichnung g1 und g2 arbeiten, wenn dir das lieber ist... Könntest du dich aber jetzt endlich mal hinsetzen und

$\begin{eqnarray*} (g_1,g_2)(g_1^{-1},g_2^{-1})=\ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (g_1^{-1},g_2^{-1})(g_1,g_2)=\ldots \end{eqnarray*}$

wirklich ausrechnen und nachschauen, ob da wirklich das Einselement $\begin{eqnarray*} e:=(e_1,e_2) \end{eqnarray*}$ herauskommt, wie das für ein Inverses gefordert ist? verwirrt

Edit: Mathematik ist nämlich nicht ein "Diskutieren" über mathematische Sachverhalte, sondern vor allem ein Tun...

14.11.2012, 15:34

Endoflex

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(g1,g2)(g1^-1,g2^-1)=(g1g1^-1,g2g2^-1)=e1,e2

(g1^-1,g2^-1)(g1,g2)=(g1^-1g1,g2^-1g2)=e1,e2

so richtig?

14.11.2012, 17:09

Monoid

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Ja. Das die Inverse in G1 x G2 sind, hast du schon selbst raus? Oder? Wenn ja, wäre a doch gezeigt.

14.11.2012, 17:27

Endoflex

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muss ich das auch noch zeigen, dass die einzeln in den gruppen drin sind?

14.11.2012, 21:35

Mystic

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Zitat:

Original von Endoflex
muss ich das auch noch zeigen, dass die einzeln in den gruppen drin sind?

Wenn sie nicht einzeln in den Gruppen wären, dann hätten diese ja keine Einselemente und wären daher gar keine Gruppen... geschockt

Und oben musst du auch noch Klammern um e1,e2 herumsetzen, also (e1,e2), sonst wär das kein Element von G1 x G2...

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