Konvergenz

Neue Frage »

14.11.2012, 11:16	Bad1	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz Meine Frage: Hallo ich habe gerade Probleme bei einer Aufgabe: Untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{k} } \end{eqnarray}$ Kann mir jemand tipps geben wie ich vorgehen soll? Meine Ideen: keine
14.11.2012, 11:24	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz Stichwort harmonische Reihe. Wir haben eine Reihe der Form vorliegen $\begin{eqnarray} \sum \frac{1}{k^{ \alpha}} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \alpha <1 \end{eqnarray}$ . Mit Cauchys Verdichtungskriterium lässt sich leicht die Divergenz zeigen, bedeutet, konstruiere aus deiner harmonische Reihe eine geometrische Reihe mit gleichem Konvergenzverhalten.
14.11.2012, 11:27	Bad1	Auf diesen Beitrag antworten »
Was meinst du genau? Soll ich beim nenner das cauchy kriterium anwenden?
14.11.2012, 11:31	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, nicht das Cauchykriterium, sondern das Verdichtungskriterium (von Cauchy, der Typ hat ne ganze Menge gemacht...). Das besagt, dass die harmonische Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{\alpha}} \end{eqnarray}$ das gleiche Konvergenzverhalte hat, wie die geometrische Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{n} 2^k \cdot \frac{1}{(2^k)^{\alpha}} \end{eqnarray}$
14.11.2012, 12:08	Bad1	Auf diesen Beitrag antworten »
Umgeschrieben wäre die Reihe ja 1/ k^{1/2} . Wie gehe ich weiter vor?
14.11.2012, 12:18	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Lies denm letzten Post noch mal aufmerksam und setze in beide Reihen einfach $\begin{eqnarray} \alpha=\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ ein.
Anzeige

14.11.2012, 12:31	Bad1	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann hätte ich ja 2^{1/2} * 1/2^ {1/4} stehen richtig?
14.11.2012, 12:36	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Wo stehen, und wie kommst du darauf? Wo ist der Summationsindex hin? Hast du jetzt etwa $\begin{eqnarray} \alpha =k = \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ eingesetzt? Wieso? Fragen über Fragen.... Also ich würde zuerst einmal $\begin{eqnarray} 2^k \cdot \frac{1}{(2^k)^{\alpha}} \end{eqnarray}$ umformen in $\begin{eqnarray} (2^{1-\alpha})^k \end{eqnarray}$ Dann haben wir eine geometrische Reihe $\begin{eqnarray} \sum q^k \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} q=2^{1- \alpha} \end{eqnarray}$ ..... Und schreibe bitte, was du machst und nicht nur, wie dein vorläufiges Zwischenergebnis ausschaut, dann muss ich nicht raten wie du auf so etwas kommst.....
14.11.2012, 12:54	Bad1	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir leid aber ich verstehe nicht so genau wie du jetzt auf dein a kommst? Fällt das 2^ k. einfach weg?
14.11.2012, 12:56	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf welches a? Bei mir gibt es überhaupt kein a... Wenn du alpha meinst, dann schreib es auch, wenn du q meinst, dann schreib q, aber nen a habe ich nicht verwendet. Oder schreib, was du genau meinst!
14.11.2012, 13:07	Bad1	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso komm bei dir für q = 2^{1-Alpha }. Raus?
14.11.2012, 13:10	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzgesetze sollten aber klar sein wenn man im Hochschulforum postet: $\begin{eqnarray} 2^k \cdot \frac{1}{(2^k)^{\alpha}}=(2^k)^1 \cdot (2^k)^{-\alpha}=(2^k)^{1- \alpha}=(2^{1- \alpha})^k \end{eqnarray}$
14.11.2012, 14:08	Bad1	Auf diesen Beitrag antworten »
Äh ok . Wie muss ich denn jetzt genau weiter Vorgehen?
14.11.2012, 14:16	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun setz doch endlich mal $\begin{eqnarray} \alpha=\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ ein! Dann kannst du die Identität $\begin{eqnarray} a_0 \cdot \sum\limits_{k=0}^n q^k=a_0 \cdot \frac{q^{n+1}-1}{q-1} \end{eqnarray}$ nutzen, diese sollte auch bekannt sein. Aber ich finde, jetzt muss auch mal was von dir kommen, ich meine du studierst das, ein wenig Eigenleistung sollte man da erwarten können.
14.11.2012, 19:26	Bad1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habs mal gerechnet soweit richtig?
14.11.2012, 19:59	Bad1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist mein ANsatz richtig?
14.11.2012, 20:08	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Soweit richtig, und weiter?
14.11.2012, 20:13	Bad1	Auf diesen Beitrag antworten »
Soll ich jetzt das Kriterium bei der geometrischen Reihe anwenden? $\begin{eqnarray} \frac{1}{1-q} = \frac{1}{1- 2^{\frac{1}{2} } } \end{eqnarray}$ das 1/ ist auch noch hoch k
14.11.2012, 20:17	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Einmal ausführlich, es ist $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^n q^k=\frac{q^{n+1}-1}{q-1} \end{eqnarray}$ .....
14.11.2012, 20:20	Bad1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiss nicht ob es stimmt aber ok. Ich weiss aber nicht wie ich das weiter zusammenfassen kann?
14.11.2012, 20:27	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das stimmt nicht, was hat da denn nun noch ein k zu suchen? Und warum steht das auch im Nenner? Und Potenzgesetze nicht beachtet... Du wirst doch wohl $\begin{eqnarray} q=\sqrt{2} \end{eqnarray}$ in die Identität $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^n q^k=\frac{q^{n+1}-1}{q-1} \end{eqnarray}$ stumpf einsetzen können, oder?
14.11.2012, 20:30	Bad1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kenne zwar deine formel nicht aber ich setze es mal ein: In Ordnung?
14.11.2012, 20:33	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
So, und nun Grenzwert berechnen.
14.11.2012, 20:37	Bad1	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Grenzwert müsste doch 1 sein oder?
14.11.2012, 20:41	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Nö, wie kommst du darauf? Dein Kürzen verstehe ich ehrlich gesagt nicht..... Die richtige Antwort lautet: Die Reihe ist divergent.... geeignete Umformungen dass man das schnell sieht lassen sich leicht finden.
14.11.2012, 21:19	Bad1	Auf diesen Beitrag antworten »
Was mache ich genau falsch?
14.11.2012, 21:24	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Du schreibst ja nicht mal genau, was du machst, also kann ich dir nicht sagen, was du falsch machst..... Warum du $\begin{eqnarray} \sqrt{2}^n \end{eqnarray}$ durchgestrichen hast und ne 1 drüber gemalt hast ist auch nicht klar. Nur wer redet (oder in diesem Fall schreibt), dem kann geholfen werden
14.11.2012, 21:37	Bad1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok wie vereinfache ich das weiter?
14.11.2012, 21:49	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht nicht darum, das zu vereinfachen sondern darum, den Grenzwert zu bestimmen..... Stichwort Bruchrechengesetze.....
14.11.2012, 22:13	Bad1	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann ich da irgendwie was kürzen?
14.11.2012, 23:55	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Nö.
15.11.2012, 09:15	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
So, jetzt gib dir mal nen bisschen Mühe, benötigt werden die beiden Bruchrechenregeln: $\begin{eqnarray} \frac{a}{b}=\frac{1}{\frac{b}{a}} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{a+b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c} \end{eqnarray}$ und Grenzwertsätze.
15.11.2012, 10:00	Bad1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich komm nicht so ganz drauf was du meinst . Tut mir leid
15.11.2012, 10:25	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Na, forme doch einfach mal um: $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{2}^n-1}{\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}^n}{\sqrt{2}-1}-\frac{1}{\sqrt{2}-1} \end{eqnarray}$ Nun ist der zweite Summand konstant, diesen vernachlässigen wir erst mal, da er sich beim Grenzübergang $\begin{eqnarray} n \to \infty \end{eqnarray}$ nicht verändert. Wir betrachten also den ersten Summanden. Nun weiter Bruchrechnen....
15.11.2012, 11:40	Bad1	Auf diesen Beitrag antworten »
Die nte Wurzel aus 2 geht doch gegen 1 oder?
15.11.2012, 12:19	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein letzter Post zeigt schon wieder Defizite, oh Mann.... Wir haben hier nicht $\begin{eqnarray} \sqrt[n]{2} \end{eqnarray}$ sondern $\begin{eqnarray} ( \sqrt{2})^n \end{eqnarray}$ , das ist ein himmelweiter Unterschied, der eigentlich auch klar sein sollte. Also nocheinmal: Forme den Bruch $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{2}^n}{\sqrt{2}-1} \end{eqnarray}$ mit der Bruchrechenregel $\begin{eqnarray} \frac{a}{b}=\frac{1}{\frac{b}{a}} \end{eqnarray}$ um. Ich finde für einen Studenten muss man dir ziemlich viel vorkauen....
15.11.2012, 17:15	Bad1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok jetzt habe ich das stehen. Aber inwieweit hilft mir das?
15.11.2012, 19:07	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, los, noch ein Versuch....
21.11.2012, 12:07	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt ist der Thread eine Woche nicht mehr genutzt, die Zeit zur Abgabe der Übungszettel also verstichen, also präsentiere ich einmal die Lösung. Zunächst gilt: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \sum\limits_{k=0}^n q^k=\frac{1}{1-q} \end{eqnarray}$ nur, falls $\begin{eqnarray} \|q\| <1 \end{eqnarray}$ ist, kann also hier nicht zur Anwendung kommen, da sicherlich gilt: $\begin{eqnarray} \left\| \sqrt{2} \right\| >1 \end{eqnarray}$ . Im allgemeinen muss man also solche "vorgefertigten Grenzwerte" immer mit Vorsicht betrachten und nicht unreflektiert einfach einsetzen. Also ist der Grenzwert entsprechend obiger Ausführungen zu berechnen (für $\begin{eqnarray} \|q>1\| \end{eqnarray}$ divergiert die Reihe auch), aber genau das ist hier ja an dem Beispiel zu zeigen. Also: 1. Verdichtungkriterium von Cauchy 2. Wir haben dann die Konvergenz der Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^n \sqrt{2}^k=\frac{\sqrt{2}^n-1}{\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}^n}{\sqrt{2}-1}-\frac{1}{\sqrt{2}-1} \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{2}-1} \end{eqnarray}$ konstant ist kann man sich auf die Unteruchung der Folge $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{2}^n}{\sqrt{2}-1} \end{eqnarray}$ beschränken, wir formen um: $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{2}^n}{\sqrt{2}-1}=\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}^n}-\frac{1}{\sqrt{2}^n}}=\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}^{n-1}}-\frac{1}{\sqrt{2}^n}} \end{eqnarray}$ Nun strebt jeder Summand des Nenners gegen 0, also ist $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty}\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}^{n-1}}-\frac{1}{\sqrt{2}^n}}= \infty \end{eqnarray}$ .

Neue Frage »

Antworten »

Konvergenz

Verwandte Themen