Reelle Folgen (sin): Teilfolgen und Häufungspunkte

14.11.2012, 13:10

Lamiah

Reelle Folgen (sin): Teilfolgen und Häufungspunkte

a) Sei $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ eine reelle Folge. Zeigen Sie, dass die Folge $\begin{eqnarray*} \sin (a_n)), n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , eine konvergente Teilfolge hat.

Zu allererst: Wir haben bisher nichts zu sin und cos definiert und sollen uns bei der Bearbeitung der Aufgaben nur auf Sätze und Definitionen aus der Vorlesung stützen.
Mein Ansatz ist, zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \sin (a_n)), n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ eine beschränkte Folge ist. Nach Balzano-Weiterstrass und der Definition einer Häufungspunktes folgt dann die Existenz einer konvergenten Teilfolge. Allerdings weiß ich nicht, wie ich aus den gegeben Informationen ableiten soll, dass $\begin{eqnarray*} \sin (a_n)), n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ beschränkt ist. Ich weiß zwar, dass: $\begin{eqnarray*} \sin (x) \in [-1,1], x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , aber ich darf es halt nicht anwenden.

b) Geben Sie eine Folge in [0, 1] an, für die die Menge der Häufungspunkte [0, 1] ist.

Hier das gleiche. Meine Idee ist $\begin{eqnarray*} a_n := \frac{1}{2} \sin (x) + \frac{1}{2}, x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Allerdings muss ich nun zeigen, dass die Menge der Häufungspunkte von dieser Folge tatsächlich [0, 1] ist. Ohne Vorwissen, weiß ich nicht wie.

Hat jemand Ideen?

14.11.2012, 13:48

HAL 9000

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Zitat:

Original von Lamiah
Ich weiß zwar, dass: $\begin{eqnarray*} \sin (x) \in [-1,1], x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , aber ich darf es halt nicht anwenden.

Klingt irgendwie krank. Augenzwinkern

14.11.2012, 14:07

Lamiah

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Ist das falsch? unglücklich

14.11.2012, 14:38

RavenOnJ

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das "krank" hatte sich wohl nicht auf dich bezogen, denn natürlich stimmt das. Du brauchst das aber auch nicht, sondern nur die Tatsache, dass sin(x) beschränkt ist und das darfst du doch wohl verwenden, oder?

Gruß
Peter

14.11.2012, 15:09

HAL 9000

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Ich meinte mit "krank", dass man das Schulwissen der Beschränktheit der Sinuswerte auf [-1,1] (vermeintlich?) nicht verwenden darf.

14.11.2012, 20:50

Lamiah

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Finde ich auch. Aber ich benutze es jetzt doch, weil mir kein anderer Weg einfällt.