Hauptideal

14.11.2012, 13:44

Leopard

Hauptideal

Wie zeigt man, dass das Produkt der Ideale $\begin{eqnarray*} I = (2, 1 + \sqrt{-5}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} J = (3, 1 + \sqrt{-5}) \end{eqnarray*}$ ein Hauptideal in $\begin{eqnarray*} R = \mathbb Z[\sqrt{-5}] \end{eqnarray*}$ ist.

Das Komplexprodukt enthält 4 Elemente. Wie zeigt man, dass dies nicht irreduzibel sind bzw, wie findet man das EINE erzeugende Element?

14.11.2012, 14:13

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Hauptideal
Wenn es dir gelänge, zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} 1+\sqrt{-5} \end{eqnarray*}$ im Produktideal IJ liegt, wäre das doch ein ernstzunehmender Kandidat, oder? Augenzwinkern

14.11.2012, 14:41

Leopard

Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe ich Dich richtig? Du meinst es genügt zu zeigen, sie alle 4 Elemente des Produktes IJ, derart zerlegen lassen, dass $\begin{eqnarray*} 1+ \sqrt{-5} \end{eqnarray*}$ stets ein Teil dieser Zerlegung ist, also

$\begin{eqnarray*} (1+ \sqrt{-5}) \cdot x = y \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} y \in IJ \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in I \vee x \in J \end{eqnarray*}$ ?

14.11.2012, 23:26

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, in Verbindung mit dem Nachweis, dass $\begin{eqnarray*} 1+\sqrt{-5} \end{eqnarray*}$ überhaupt in IJ liegt, sollte das eigentlich reichen oder hast du da Zweifel?

15.11.2012, 08:52

Leopard

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Zerlegung zu zeigen ist keine PRoblem. Allerdings fällt mir auf Anhieb nicht ein, wie man zeigen kann dass $\begin{eqnarray*} 1 + \sqrt{-5} \end{eqnarray*}$ als Element im Produkt IJ enthalten. Es ist ja nur in der Form $\begin{eqnarray*} (1 + \sqrt{-5}) \cdot x \end{eqnarray*}$ in IJ enthalten. Ist $\begin{eqnarray*} x = 1 \end{eqnarray*}$ in IJ enthalten? Falls ja, wie zeigt man das wiederum?

15.11.2012, 08:59

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopard
Ist $\begin{eqnarray*} x = 1 \end{eqnarray*}$ in IJ enthalten? Falls ja, wie zeigt man das wiederum?

x=1 ist sicher nicht in IJ enthalten, denn ein Ideal, das 1 enthält, wäre ja der ganze Ring... geschockt

Edit: Bitte keine solche "Schüsse aus der Hüfte", sondern wirklich ernsthafte Vorschläge...

15.11.2012, 15:20

Leopard

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich habe Dich verstanden. Problem gelöst und Beweis steht. Danke für Deine Hinweise!

Neue Frage »

Antworten »

Hauptideal

Verwandte Themen