Lage zweier Geraden

14.11.2012, 14:41

baba2k

Auf diesen Beitrag antworten »

Lage zweier Geraden

Hallo,

bin mir etwas unsicher bei einer Aufgabe, das b in $\begin{eqnarray*} g_2 \end{eqnarray*}$ verunsichert mich etwas.

Gegeben seien die Geraden

$\begin{eqnarray*} g_1 = \{ \vec{p} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} , ~t\in\mathbb{R}\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g_2 = \{ \vec{p} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} -2 \\ b \\ 1 \end{pmatrix} , ~s,b\in\mathbb{R}\} \end{eqnarray*}$

Welche Lage haben die Geraden zueinander?

Rechnung:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 \\ b \\ 1 \end{pmatrix} = t\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} -2 \\ b \\ 1 \end{pmatrix}\neq \begin{pmatrix} -2 \\ -\frac{2}{3} \\ 2 \end{pmatrix}\Rightarrow g_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g_2 \end{eqnarray*}$ sind nicht parallel oder identisch

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} -2 \\ b \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I~3t+2s=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} II~t-bs=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} III~-3t+s=-4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I+II: 3s = -2 \Rightarrow s=-\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s~in~I: 3t+2(-\frac{2}{3})=2 \Rightarrow t=\frac{10}{9} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s,t~in~III: -3\frac{10}{9}+(-\frac{2}{3})=-4 \Rightarrow -4=-4~\surd \Rightarrow g_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g_2 \end{eqnarray*}$ schneiden sich in einem Punkt

Hab ich das so richtig gemacht?
Wenn ich jetzt mal $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} g_1 \end{eqnarray*}$ einsetze kommt nen anderer Schnittpunkt raus als wenn ich $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} g_2 \end{eqnarray*}$ einsetze (dort müsste ich vorher noch b ausrechnen).

14.11.2012, 22:31

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Erstens:
Die Gleichung 3 stimmt bei dir nicht, es muss sein: - 3t - s = - 4

Zweitens:
Ob die Geraden einander schneiden oder nicht, hängt von b ab.
NUR bei einem ganz bestimmten Zahlenwert von b gibt es einen Schnittpunkt. Wie lautet dieser?

Dass die Geraden nicht parallel sind, hast du richtig (und sehr schön) berechnet.

mY+

15.11.2012, 20:25

baba2k

Auf diesen Beitrag antworten »

Ups, gerade erst gesehen, dass du mir auch hier geantwortet hast. Okay also noch ein Versuch:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 \\ b \\ 1 \end{pmatrix} = t\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} \Rightarrow (I) -2=3t \Rightarrow t=-\frac{2}{3} \Rightarrow\begin{pmatrix} -2 \\ b \\ 1 \end{pmatrix}\neq \begin{pmatrix} -2 \\ -\frac{2}{3} \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow g_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g_2 \end{eqnarray*}$ sind nicht parallel oder identisch für alle $\begin{eqnarray*} b\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} -2 \\ b \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (I)~3t+2s=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (II)~t-bs=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (III)~-3t-s=-4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (I)+(II): 3s = -2 \Rightarrow s=-\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s~in~(I): 3t+2(-\frac{2}{3})=2 \Rightarrow t=\frac{10}{9} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s,t~in~(II): \frac{10}{9}+\frac{2}{3}b=1 \Rightarrow b=-\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} b=-\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ dann schneiden sich $\begin{eqnarray*} g_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g_2 \end{eqnarray*}$ in einem Punkt, ansonsten sind sie windschief

$\begin{eqnarray*} s,t~in~(III) \end{eqnarray*}$ brauche ich ja dann nicht mehr zu beachten, ist das richtig?

Danke!

16.11.2012, 09:32

jester.

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lager zweier Geraden

Zitat:

Original von baba2k
$\begin{eqnarray*} g_2 = \{ \vec{p} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} -2 \\ b \\ 1 \end{pmatrix} , ~s,b\in\mathbb{R}\} \end{eqnarray*}$

Das ist, so aufgeschrieben, keine Gerade.

16.11.2012, 09:53

baba2k

Auf diesen Beitrag antworten »

Versteh ich grad nicht, habe das so vom Aufgabenblatt abgeschrieben, ist denn meine Rechnung richtig?

16.11.2012, 10:35

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lager zweier Geraden

Zitat:

Original von baba2k
$\begin{eqnarray*} g_2 = \{ \vec{p} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} -2 \\ b \\ 1 \end{pmatrix} , ~s,b\in\mathbb{R}\} \end{eqnarray*}$

da könnte man meinen, dass s und b gleichwertig seien. Ich würde das b gar nicht erwähnen.

$\begin{eqnarray*} g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} -2 \\ b \\ 1 \end{pmatrix} , ~ s\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$

die Mengenschreibweise ist auch nicht zwingend notwendig, da hier jedermann im Bilde ist, um was es sich handelt.
Sonst müsste man jedesmal ganz aufwändig schreiben:

$\begin{eqnarray*} g_2= \biggl \{ (x_1,x_2, x_3) \, \bigg| \, \overrightarrow {OX} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} -2 \\ b \\ 1 \end{pmatrix} ~ \land ~ s\in\mathbb{R} \biggr \} \end{eqnarray*}$

und wer will das schon?

Anzeige

16.11.2012, 10:43

baba2k

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss die Schreibweise so übernehmen, weil es so gefordert wird.
Ich kenne aber auch die Schreibweise ohne Mengenklammern.

Wie sieht es denn mit meiner Rechnung aus, ist das so korrekt?

16.11.2012, 18:52

Malte86

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo baba,

die Rechnung sieht sehr gut aus!

Die Darstellung der Graden ist genau so wie du sie abgeschrieben hast richtig.

Die Aussage von Dopap, man könnte meinen das s und b gleichwertig seien, ist leider schlicht und ergreifend falsch (sorry)

das $\begin{eqnarray*} s\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ kann man anhand der Gleichung erraten und wird daher oft einfach weggelassen (was streng genommen fehlerhaft ist)

aber das $\begin{eqnarray*} b\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ kann nicht "erraten" werden, es ist daher zwingend erforderlich.

Das ihr das Mathematisch exakt lernt, finde ich sehr gut also daumen hoch! smile

smile

und bis auf einen kleinen Tippfehler (du hast I+II geschrieben, meintest aber I+III ^^ )
kann ich auf die schnelle keinen Fehler entdecken!

Gruß
Malte

16.11.2012, 19:05

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Malte86
Die Aussage von Dopap, man könnte meinen, dass s und b gleichwertig seien, ist leider schlicht und ergreifend falsch (sorry)

@malte86:
Wir gehen hier eigentlich nicht so dozierend miteinander um. Und wenn schon, dann könnte eine Begründung nicht schaden. Ich bin immer noch am Lernen... Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.11.2012, 19:09

jester.

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Malte86
Die Darstellung der Graden ist genau so wie du sie abgeschrieben hast richtig.

Das ist genau so falsch wie

Zitat:

Original von baba2k
Ich muss die Schreibweise so übernehmen, weil es so gefordert wird.

Begründung:

Die Menge $\begin{eqnarray*} g_2 \end{eqnarray*}$ enthält, so wie sie notiert ist, die Punkte $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1\\3\\-1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-1\\3\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-1\\4\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , die nicht auf einer Geraden liegen (Man erhält diese durch folgende Wahlen für s und b: erstens s=0, zweitens s=1 und b=0, drittens s=b=1).
Dass eine falsche Schreibweise vorgegeben wird, heißt zudem mitnichten, dass sie auch übernommen werden muss. Warum auch? In der Mathematik gibt es keine Autorität, die irgendetwas vorgibt, was dann unumstößlich richtig ist; wichtig ist nur, dass klar ist, worüber gesprochen wird. In diesem Fall ist die Mengenschreibweise klar und eindeutig. Genauso ist klar, dass die Menge $\begin{eqnarray*} g_2 \end{eqnarray*}$ die oben genannten Punkte enthält, die nicht auf einer Geraden liegen.

Was hier mit "erraten" gemeint sein soll, ist mir darüber hinaus komplett unklar.

16.11.2012, 19:46

Malte86

Auf diesen Beitrag antworten »

Ohje jester hat natürlich recht, bin wohl etwas überarbeitet xD

@Dopap Sorry ich wollte dir echt nicht auf die Füße treten oder so, das war absolut nicht bös gemeint, gebe dir recht klingt etwas forsch, so watr das nícht gedacht hoffe nimmst mir das nicht krumm.

Gruß
Malte

16.11.2012, 21:28

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Malte86

[...] @Dopap Sorry ich wollte dir echt nicht auf die Füße treten oder so, das war absolut nicht bös gemeint, gebe dir recht klingt etwas forsch, so watr das nícht gedacht hoffe nimmst mir das nicht krumm.

nehme ich nicht. Und da du relativ neu am board bist, hast du noch Eingewöhnungszeit Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.11.2012, 21:22

streamer

Auf diesen Beitrag antworten »

ich werd mich wahrscheinlich irren, aber ich habe raus, dass nur für b = -(1/2) ein Schnittpunkt zustande kommt, ansonsten sind die Geraden windschief.
Hat das mal jemand nachgerechnet? Denn ich bin wirklich nicht gut in dem kram^^

18.11.2012, 21:28

baba2k

Auf diesen Beitrag antworten »

@streamer: Du hast recht, der Fehler ist mir auch beim abschreiben aufgefallen!

18.11.2012, 21:30

streamer

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah super, hab ichs wohl doch richtig, habs nämlich etwas umständlich über den Gaußalgorythmus gelöst.
Danke dir smile

smile

18.11.2012, 21:34

baba2k

Auf diesen Beitrag antworten »

Joa, der Prof. sagt ja immer Gauß nehmen, aber in diesem Fall fande ich es ohne Gauß wesentlich einfacher.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »