Frage zum Ansatz: Fouriertransformierte Rechteckimpuls

14.11.2012, 15:15	ketchup66	Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zum Ansatz: Fouriertransformierte Rechteckimpuls Hallo, Ich möchte die Fourier-Transformierte eines Reckteckimpulses der DAUER T berechnen. Wir machen folgenden Ansatz: $\begin{eqnarray} \int_{-\infty} ^{\infty} \! rect(\frac{t}{T}) e^{-j2pift} \, dt \end{eqnarray}$ und dann $\begin{eqnarray} = \int_{-\frac{T}{2} }^{\frac{T}{2} } \! e^{-2pift} \, dt \end{eqnarray*}$ Offensichtlich ist also der Rechteckimpuls durch 1 ersetzt worden. Müsste hier aber nicht ein T stehen? Bei Impulsamplitude von 1 und Dauer von T ergibt das Integral/Fläche doch eigentlich T??. Gruß und Vielen Dank ketchup
15.11.2012, 13:39	Cugu	Auf diesen Beitrag antworten »
Wo soll T stehen? Es ist doch $\begin{eqnarray} \operatorname{rect}(x) = \begin{cases} 0 & \text{wenn } \|x\| > \frac{1}{2} \\[3pt] \frac{1}{2} & \mbox{wenn } \|x\| = \frac{1}{2} \\[3pt] 1 & \text{wenn } \|x\| < \frac{1}{2}. \end{cases} \end{eqnarray}$ Es folgt $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty} \! \operatorname{rect}(x) dx=\int_{-\infty}^{-\frac{1}{2}} 0 \ dx +\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} 1 \ dx + \int_{\frac{1}{2}}^{\infty} 0 \ dx = 1. \end{eqnarray}$ Mit der Substitution $\begin{eqnarray} x=\frac{t}{T} \end{eqnarray}$ erhaelt man also $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty} \! \operatorname{rect}\left(\frac{t}{T}\right) dt= T \cdot \int_{-\infty}^{\infty} \! \operatorname{rect}(x) dx =T. \end{eqnarray}$ Das Integral ergibt also $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ .
16.11.2012, 19:27	ketchup66	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Cugu! Vielen Dank für Deine Antwort! Dein Ergebnis T ist richtig; in meinem Integral fällt das einfach weg, da T = 1 (Tastverhältnis T/T_o =1/4). Schönes Wochenende Gruß kechup

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