Koeffizienten einer Gleichung finden

14.11.2012, 15:43	Richard*	Auf diesen Beitrag antworten »
Koeffizienten einer Gleichung finden Hallo, wie findet man rationale Zahlen a, b und c, die die Gleichung 3a²-2b²-c²=5 erfüllen? Ich freue mich auf eure Vorschläge! MFG Richard Topics: Algebra, Quadratische Formen, Zahlentheorie.
14.11.2012, 15:46	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Suchst du nur einige solche Tripel (kein Problem) oder tatsächlich alle? Letzteres ist schon schwieriger.
14.11.2012, 16:45	Richard*	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, eigentlich würde ein Tripel reichen. Aber alle zu kennen, wäre auch nicht schlecht :-) Ich habe jetzt herausgefunden: b=c und $\begin{eqnarray} a= \frac{1}{3} \sqrt {9\,{b}^{2}+15} \end{eqnarray}$ . Also muss man b finden, so dass a rational wird, z. B. wenn der Ausdruck unter der Wurzel ein Quadrat ist? Aber wie berechnet man das? Ich würde elementare Lösungen bevorzugen :-) Aber wenns nicht anders geht, muss man halt die Theorie der quadr. Formen anwenden. Gruß, Richard
15.11.2012, 06:32	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hatte eher an den einfacheren Fall der Lösungen mit $\begin{eqnarray} a=b \end{eqnarray}$ gedacht, da kommen wir zu $\begin{eqnarray} a^2-c^2 = (a-c)(a+c) = 5 \end{eqnarray}$ . Jetzt wählst du dir (als Parameter) irgendeine rationale Zahl $\begin{eqnarray} q\neq 0 \end{eqnarray}$ und setzt $\begin{eqnarray} a+c = q \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} a-c = \frac{5}{q} \end{eqnarray}$ , was aufgelöst zu $\begin{eqnarray} a = b &=& \frac{q}{2} + \frac{5}{2q}<br /> c &=& \frac{q}{2} - \frac{5}{2q} \end{eqnarray}$ führt. Z.B. für $\begin{eqnarray} q = 5 \end{eqnarray}$ ergibt das die sogar ganzzahlige Lösung $\begin{eqnarray} (a,b,c)= (3,3,2) \end{eqnarray}$ . P.S.: $\begin{eqnarray} b=c \end{eqnarray}$ wäre übrigens auch ähnlich einfach gewesen, denn das entstehende $\begin{eqnarray} 3a^2-3b^2 = 3(b-c)(b+c) = 5 \end{eqnarray}$ ist mit $\begin{eqnarray} b+c=q,b-c=\frac{5}{3q} \end{eqnarray}$ ähnlich lösbar, nur diesmal nicht ganzzahlig.
15.11.2012, 10:15	Richard*	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, vielen Dank! Durch deine Vorgehensweise erhält man ja sogar unendlich viele Lösungen, was sehr schön ist. Ich wollte es auch elementar lösen, bin aber nicht auf die Idee gekommen, so einen Parameter einzuführen, daher bin ich irgendwie auf der Stelle getreten :-) Viele Grüße Richard

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