Division von Restklassen-Polynomen

Neue Frage »

Gast1000 Auf diesen Beitrag antworten »
Division von Restklassen-Polynomen
Meine Frage:
Hallo, ich habe folgende Polynome:
f= [3]t^4 - [1]t³ - [2]t - [6]
g= [2]t² - 3

[a]:= Restklasse

Wie kann ich diese beiden Polynome dividieren? (f geteilt durch g)

Meine Ideen:
Danke schon mal für alle Antworten smile
Gast1000 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Division von Restklassen-Polynomen
Zitat:
Original von Gast1000
Meine Frage:
Hallo, ich habe folgende Polynome:
f= [3]t^4 - [1]t³ - [2]t - [6]
g= [2]t² - [3]

[a]:= Restklasse

Wie kann ich diese beiden Polynome dividieren? (f geteilt durch g)

Meine Ideen:
Danke schon mal für alle Antworten smile


die [3] ist auch eine Restklasse Augenzwinkern
 
 
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst die so dividieren wie sonst auch. Wichtig wäre nur in welchem Restklassenring (Hoffentlich ein Körper) wir uns befinden.
Gast1000 Auf diesen Beitrag antworten »

Also der Restring ist Fp (p sind Primzahlen).
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn nicht konkret gegeben ist, so rechnest du das einfach wie in . Statt Brüchen kannst du ja die Schreibweise benutzen.
Gast1000 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wenn ich Brüche habe, dann sind das ja keine ganzen Zahlen und der Rest der ist ja eine ganze Zahl oder?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Du bist doch in einem Körper. Da sind Brüche (Inverse von Elementen) kein Problem.
Gast1000 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich dachte, dass wenn man zwei Restklassen dividiert, dann bekommt man wieder eine Restklasse, oder liege ich da falsch?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es. Aber wenn man die Primzahl hier nicht konkret kennt, so wird man diese Restklasse im Allgemeinen nicht konkret (durch den kanonischen Vertreter) angeben können.

Da du hier aber nur durch 2 teilst, geht es doch (Sorry, hab mir die Polynome nicht genau angeguckt). Die Inverse von 2 ist ja bekanntlich .
Gast1000 Auf diesen Beitrag antworten »

Was genau geht jetzt?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du die Polynomdivision ausführst, wirst du auf den Nenner 2 stoßen.

Wegen kannst du das dann ersetzen.

Ich rate dir aber die Polynomdivision erst wie in Q zu rechnen und erst am Ende die Nenner ersetzen.
Gast1000 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso. und wenn ich jetzt zb. (3/2) habe, muss ich dann die 2 mit (p+1)/2 oder den ganzen Term.
Gast1000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo

Wegen kannst du das dann ersetzen.



Wie kommt man darauf?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Überzeuge dich lieber von der Gültigkeit dieser Gleichung.
Gast1000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe die Gleichung aber nicht, weil wenn ich für p=3 einsetze, dann habe ist ja 1/2 nicht gleich 3/2... verwirrt
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du beim Term vermöge zu gelangst, fühle ich mich ehrlich gesagt ein wenig veräppelt...

Falls du meintest: Die Gleichung gilt natürlich nur ungerade Primzahlen. Für kann man die 2 ja gar nicht invertieren.
Gast1000 Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige, ich wollte dich nicht veräppeln smile aber ich stehe gerade wirklich auf dem Schlau, könntest du mir nicht einen schlauen Tipp geben?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Geh doch mal auf meinen Beitrag ein.

Was meintest du denn jetzt?

Wenn du meintest, so musst du das doch selbst korrigieren können.

edit: Wir gehen übrigens gerade viel zu sehr auf mMn unwichtige Details ein. Du solltest die Polynomdivision auch mal ausführen.

Ob man da jetzt stehen lässt oder hinschreibt, ist egal. Schöner ist das Zweitere auch nicht.
Gast1000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe das vorher nicht gesehen, erst als ich meine Antwort abgeschickt habe. Und nein, ich meinte p=3, weil ich dachte, dass die Formel für alle Primzahlen gilt.
Gast1000 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Polynomdivision habe ich schon längst gemacht. und deswegen rede ich ja gerade hier von (3/2) sind das jetzt (3p+3)2 oder wie kann ich (1/2) ersetzen?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Für p =3 gilt sie ja auch. Für p=2 hingegen macht sie keinen Sinn.

Man sollte sich allgemein daran gewöhnen, dass bei irgendwelchen Aussagen über endliche Körper oder irgendwelche Restklassen die 2 sehr sehr oft eine Sonderrolle spielt und einzeln betrachtet werden muss.

Hier ist dies aber eher zufällig dadurch bedingt, dass der Aufgabensteller nunmal eine 2 als höchsten Koeffizienten des Nennerpolynoms gewählt hat...

edit: Ja, . Aber wie gesagt: Über den Sinn dieser Umformung lässt sich streiten. Vielleicht sollte man doch lieber einfach stehen lassen.
Gast1000 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso. Ist denn das Polynom und der Rest, den ich jetzt herausbekommen habe auch Element von Fp?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Element von . Ja, das ist ja der Sinn von Division mit Rest in einem Polynomring über einem Körper.
Gast1000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, wollte ich nur mal fragen, um sicher zu gehen.
Also was mir aber noch immer unklar ist, was [3]/[2] ist, weil es kann doch nicht genau das gleiche rauskommen, wie wenn man es ohne die Restklassen macht, oder?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

ist nunmal .

Man kann es auch als schreiben. Aber kann man sich darunter etwa mehr vorstellen?

Vielleicht basiert unser Missverständnis auch darauf, dass ich die Klammern die ganze Zeit weggelassen hat. Sobald man etwas Erfahrung hat, lässt man die meist weg.
Gast1000 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, dass heißt, dass die Formel so ist: [1/2]= [(p+1)/2] ??
Aber wie kann es sein, dass man halbe Restklassen hat?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gast1000
Aber wie kann es sein, dass man halbe Restklassen hat?


Daher ist [1/2]= [(p+1)/2] ja streng genommen auch falsch. (So habe ich es auch nie geschrieben hier)

Eher [1]/[2]= [(p+1)/2]. Beachte, dass stets eine ganze Zahl ist, wenn eine Primzahl ist.
Gast1000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja,das finde ich logisch, dass für (p+1)/2 immer eine ganze Zahl rauskommt, aber was ist diese ganze Zahl?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage verstehe ich jetzt nicht verwirrt
Gast1000 Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich für p eine Primzahl einsetze, dann bekomme ich eine ganze Zahl, und diese ganze ist das dann eine Restklasse von p?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Jede ganze Zahl ist doch eine Restklasse mod p. Und zwar in dem Sinne, dass wir sie mit der Restklasse identifizieren, in der sie liegt.


PS: bin jetzt mal vorerst weg. Ich guck mir dann doch mal das Länderspiel an.
Gast1000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja schon.

Ich versuche gerade auch zu verstehen, wie man die Restklasse 1 durch die Restklasse 2 teilen kann und dann eine ganze Zahl als Ergebnis bekommt. Ich verstehe nicht wie das geht.
Gast001133 Auf diesen Beitrag antworten »

Auch wenn es 3 Jahre alt ist.

kannst du in Restklassen so nicht rechnen wenn das Ergebnis keine Ganze Zahl ist. Natürlich kannst du den oberen Term solange + ein vielfaches von p Rechnen (also + 0) bis du es ohne rest teilen kannst, aber das ist doch sinnlos. Denn es gibt eine Sache da weißt du was raus kommt, auch in beliebigen Restklassen.
also was tun wir um zu berechnen?
Jedes Element einer Restklasse hat ein Inverses für das gilt:
... daraus ergibt sich



Du musst also nur das Inverse Element finden, dann bist du fertig mit deiner Division.

Beispiel für Fp mit p = 5

gesucht ist:



Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »