auf Infimum Supremum Max Min Untersuchen

14.11.2012, 19:58

dreyansfumf

auf Infimum Supremum Max Min Untersuchen

Meine Frage:
hi

ich hab eine formelle frage
und zwar wenn da steht "Untersuche eine Menge/Fkt. oder so auf Infimum Supremum Max Min" was genau heißt dann "untersuchen" ?

reicht es Infimum Sup etc. anzugeben ?

Meine Ideen:
ein Beispiel wäre:
$\begin{eqnarray*} \left\{ \frac{1}{n}|n element N \right\} \end{eqnarray*}$

recht es jetzt zu schreiben:
$\begin{eqnarray*} \left\{ \frac{1}{n}|n element N \right\} \end{eqnarray*}$ =B
infB=0
supB=1=maxB

14.11.2012, 21:03

Dummbatzz

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14.11.2012, 21:33

RavenOnJ

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RE: auf Infimum Supremum Max Min Untersuchen

Zitat:

Original von dreyansfumf
[reicht es Infimum Sup etc. anzugeben ?

Nein, das reicht nicht. Du musst schon zeigen, dass es wirklich das Supremum, Infimum, Maximum oder Minimum ist.

15.11.2012, 10:40

dreyansfumf

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ok danke

wie könnte man das denn z.b. zeigen
möglichst leicht ?

15.11.2012, 11:23

RavenOnJ

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Das kann man nicht so generell beantworten. Es kommt darauf an, ob du eine Funktion, eine Menge oder eine Folge hast, wobei man letztere als abzählbare Menge mit einem Bildungsgesetz auffassen kann.

In jedem Fall muss man erst mal zeigen, dass die Funktionen (im untersuchten Bereich), Mengen oder Folgen nach oben bzw. unten beschränkt sind, denn das ist die Grundvoraussetzung dafür, dass das Supremum oder Maximum bzw. Infimum oder Minimum überhaupt existiert.

Bei Funktionen untersucht man dann typischerweise das Verhalten im Unendlichen, wenn das zum untersuchten Bereich gehört. Dazu müssen dann die entsprechenden Limites gebildet werden.

Auf Mengen muss eine Ordnung oder Halbordnung definiert sein, damit überhaupt von den Begriffen Supremum (falls es kein maximales Element innerhalb der Menge gibt, aber die Menge trotzdem nach oben beschränkt ist; ansonsten ist das Supremum das Maximum), Maximum bzw. Infimum (falls es kein minimales Element innerhalb der Menge gibt, aber die Menge trotzdem nach unten beschränkt ist; ansonsten ist das Infimum das Minimum), Minimum gesprochen werden kann.

Bei Folgen geht es meist darum, auf Konvergenz bzw. Divergenz zu prüfen. Konvergente Folgen haben immer Supremum und Infimum, mindestens eins von den beiden muss sogar in der Folge angenommen werden. Nicht-konvergente Folgen können unbeschränkt sein und/oder mehrere Häufungspunkte haben. Im ersten Fall existiert entweder Supremum oder (auch) Infimum nicht. Im zweiten Fall können beide existieren, müssen aber nicht.

Um beispielsweise zu zeigen, dass das Supremum wirklich dasjenige ist, geht man meist mit der epsilon-Methode vor, indem man zeigt, dass in jeder $\begin{align*} \epsilon \end{align*}$ -Umgebung des Supremums ein Glied der Folge liegt und das das Supremum die größte Zahl ist, für die das gilt (das Supremum ist die kleinste obere Schranke). Für das Infimum gilt das analoge.

[Von Funktionenfolgen oder Folgen von Folgen will ich hier gar nicht reden. ]

Du siehst, es gibt verdammt viele Möglichkeiten, "möglichst leicht" ist zwar wünschenswert, kann man aber nicht generell angeben. Es gibt i.d.R. keine Kochrezepte in der Mathematik.

Gruß
Peter

15.11.2012, 11:36

dreyansfumf

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ok danke erstma Freude

15.11.2012, 12:45

dreyansfumf

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wäre es für das oben von mir genannte beispiel in ordnung zu schreiben:

$\begin{eqnarray*} n=1\Rightarrow \frac{1}{n} =1 supB=maxB=1 \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n}=0 infB=0 , kein Minimum da 1/n\neq 0 \end{eqnarray*}$

15.11.2012, 14:20

RavenOnJ

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Zitat:

Original von dreyansfumf
wäre es für das oben von mir genannte beispiel in ordnung zu schreiben:

$\begin{eqnarray*} n=1\Rightarrow \frac{1}{n} =1 supB=maxB=1 \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n}=0 infB=0 , kein Minimum da 1/n\neq 0 \end{eqnarray*}$

Du hast bis jetzt nur die Behauptung aufgestellt, dass die Folge ein Maximum hat und das Supremum gleich dem Maximum ist, das bei 1 liegt. Du musst aber vor Allem zeigen, dass alle anderen Elemente kleiner oder gleich 1 sind, denn nur dann ist die 1 wirklich das Supremum bzw. Maximum. Zeige beispielsweise, dass die Folge monoton fallend ist.

Die Limesbildung ist richtig und zeigt, dass die Folge gegen 0 konvergiert
Beim Infimum reicht nicht $\begin{align*} 1/n \neq 0 \end{align*}$ , sondern zusätzlich muss noch gelten $\begin{align*} 1/n > 0 \end{align*}$ . Auch das lässt sich ja leicht zeigen. Deine Folgerungen $\begin{align*} 1/n \neq 0 \land \lim_{n\to\infty}1/n = 0 \end{align*}$ lassen sich auch von der Folge $\begin{align*} (x_n) := \{x_n = -\frac{(-1)^n}{n}, n \in \mathbb{N}\} \end{align*}$ erfüllen, die aber kein Infimum bei 0 hat.

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