Gerade teilt Parabelfläche, aber wie?

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2lol4u Auf diesen Beitrag antworten »
Gerade teilt Parabelfläche, aber wie?
Normalerweise will ich immer alles alleine lösen aber hierfür hab ich mich jetzt extra hier angemeldet, denn das find ich irgendwie auf den Tod nicht heraus...

Ich hab eine Gerade und eine Parabel:





Mittels Integralrechnung kann ich jetzt errechnen wie groß die Gesamtfläche der Parabel ist, und wie groß die einzelnen Teilabschnitte sind, die von der Gearde getrennt werden. Bis hierhin alles klar.


Nur wie zum Henker finde ich bloß eine Gerade, welche die Maßzahl der Fläche halbiert

mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Ich sehe weder eine Funktion einer Parabel noch die einer Geraden! Schreibe bitte mal die Funktionen korrekt hin!

mY+
ICEMAN Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gerade teilt Parabelfläche, aber wie?
du hast das = vergessen!!!

ich hatte auch schon mal so ne ähnliche aufgabe, glaub ich!

die gesamtfläche erhälst du durch integration! dieses integral halbierst du und rechnest rückwärts...

ganz sicher bin ich mir aber nicht aber ich glaub das war so... verwirrt
TheGreatMM Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gerade teilt Parabelfläche, aber wie?
hmmm naja also eine waagerechte Gerade könnte ich gerade auch nicht

bei einer Parabel würde ich mir eine Gerade erzeugen, die durch den Ursprung geht. Dann musst du nur eine Intervallsgrenze als unbekannt setzen...

also

1. gesamte Fläche ausrechnen

2. A=\frac{1}{2}* [F(x)]_{t}^0

nach t auflösen
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

unglücklich
Warum lässt ihr nicht zuerst den Autor zu Wort kommen? Vielleicht ist er dann geneigt, uns die richtigen Funktionen bzw. den gesamten Aufgabentext zukommen zu lassen! Rateonkel sollten wir nicht spielen!
unglücklich

@..Great..

Bitte editiere noch deinen z.T. unleserlichen Text und verwende in LATex statt des * - Zeichens \cdot.
2lol4u Auf diesen Beitrag antworten »

OK dann nochma ausführlich, ich habs nicht so gut erklärt, sorry...

Gegeben:





Gesucht: Gerade, welche die Maßzahl der Fläche der Parabel halbiert

Bedingung: Gerade muss durch einen der Nullstellen der Parabel verlaufen also durch (-2|0) oder (2|0), sonst würden die meisten eine vertikale Gerade nehmen und die Aufgabe wäre zu einfach

Ich hoffe ich habs jetzt verständlicher erklärt
 
 
discuss Auf diesen Beitrag antworten »
Geradengleichung
Hi 2lol4u,

ich hatte vor drei Wochen eine ähnliche Aufgabe zu rechnen wie du. Ich wusste damals selbst nicht mehr weiter und musste in mein Lösungsbuch schauen. So weit ich es richtig verstanden habe, wird bei dir nach der Geradengleichung gefragt. Die Gerade soll durch einen der Schnittpunkte mit der x- Achse (-2 oder 2) gehen und die Fläche halbieren.
Also ich versuch mal deine Aufgabe zu lösen.

Zuerst hab ich noch eine Frage an dich:
Welche Fläche soll den von der Geraden halbiert werden?
a) die Fläche die über der X- Achse liegt oder
b) die FLäche über der x- Achse + die Fläche die noch unter der x- Achse liegt?

Bei Fall b) ist es sehr kompliziert zu integrieren bzw. eine Geradengleichung aufzustellen, da man ja nicht mehr beim integrieren die x- Achse verwenden kann.

Also ich denke mal bei dir trifft Fall a) zu oder?

gruß daniel
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Es kommt ohnehin nur der "Fall a)" in Frage, das ist klar.
Übrigens ist allenfalls ein Term, aber keine Funktion!

Wie wäre es mit oder ? Exakte Schreibweisen sind deswegen wichtig, weil davon letztendlich auch das Verständnis der Aufgabe und der richtige Rechenweg abhängt!

Setze nun die Gerade mit der Steigung m durch den Punkt (-2;0) als

...*)

an und schneide sie mit der Parabel. Die entstehende quadratische Geichung liefert 2 Lösungen, von denen die eine wiederum -2 sein muss (weil dies ja auch die Nullstelle der Geraden ist). Die zweite Lösung (-m + 1) ist nun die obere Integrationsgrenze für das Integral der Funktionendifferenz als die von den beiden Kurven eingeschlossene Fläche. Setze dieses nun gleich der halben von der Parabel und der x-Achse eingeschlossenen Fläche (dazu kannst du die Parabel von vornherein nur von 0 bis 2 integrieren) und löse die entstehende Gleichung nach m.

mY+

*) wie kommt man zu dieser Form? Hinweis: Punkt-Richtungsform der Geradengleichung
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Eine andere Variante.

Du verschiebst f(x) um 2 nach rechts, ergibt g(x),
deine Gerade durch (a,g(a)) lautet dann: y = g(a)/a * x

Nun ermittelst

Integral[0...a]( g(x) - (g(a)/a)*x ,dx ) = Integral[0..2](g(x) ,dx)

und löst die entstehende Gl. nach a auf.
Jetzt musst das Resultat nur wieder rückverschieben. (wenn du verschieben kannst ist es kaum kompliziert)

Alternativ kannst auch folgendes ermitteln und lösen

g(a)*a/2 + Integral[a...4]( g(x) ,dx ) = Integral[0..2](g(x) ,dx)
2lol4u Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin in der LGS 12, Mathe GK

@ mYthos

Sorry aber deine Lösung kapier ich ganz und garnicht, die Erklärung ist irgdnwie zu kompliziert für mich... -.-;

@ Poff

Deine Lösung ist mir plausiblr, weil du es mit formeln schilderst, könntest du es nur ein klein wenig ausfürlich mit diesem Formelzeichenprogramm darstellen?
Und wofür steht bei dir eigentlich das a ?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich möchte gerne wissen, was daran so kompliziert sein soll. Müsstest dich halt da durchlesen, sorry.

a ist der x-Wert des Schnittpunktes der Geraden mit der (verschobenen) Parabel.
Die Variante von Poff ist im Prinzip nicht viel anders (und einfacher?) als meine, aber wenn du diese besser verstehst, nichts dagegen!

Und: Du solltest wissen, dass Poff ein konsequenter LaTex-Verweigerer ist.
Aber bitte: Lass es dir von ihm nur vorrechnen, wenn er dies tut, und du das dann verstehst, umso lieber ...

mY+
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

2lol4u,

mYthos hat schon recht, das ist nicht viel einfacher, schreibt sich
halt ein wenig einfacher in der verschobenen Form.


Das geht auch ohne Verschieben, wird nicht wirklich schwieriger.

Du wählst frei den allgemeinen Punkt (a|f(a)) auf der Parabel
und berechnest mit der 2Punkte-Formel (2.Punkt ist (-2|0))
die Geradengleichung h durch diese beiden Punkte.

h: (f(a)-0) / (a-(-2)) = (y-f(a)) / (x-a)
h: y = .... (ergibt irgendwas mit a ... und x)

dabei ist f(x) = -x^2+4 und f(a) = -a^2+4

Die Integralgleichung musst nun noch auf die entsprechenden
unverschobenen Grenzen anpassen.

Integral[-2...a]( f(x) - h(x) ,dx ) = Integral[-2..0](f(x) ,dx),

oder die 2.Variante, die sieht so aus:
f(a)*(a+2)/2 + Integral[a...2]( f(x) ,dx ) = Integral[0..2](f(x) ,dx)

Für f(x), h(x), f(a) musst die entsprechenden Terme einsetzen,
Integralgleichung auswerten und nach a auflösen.

a in allgemeine Geradengleichung h liefert die explizite Gerade h.

Fertig, damit musst klarkommen.
(Fehler sind hoffentlich keine reingehüpft)
2lol4u Auf diesen Beitrag antworten »

Versteh ich allessamt nicht. Solche Mittel und Vorgehensweisen haben wir garnicht in der Schule gelernt. Kann man das nicht einfacher lösen?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Lehrer Die Frage ist, was kannst du denn. Oder eher, was solltest du laut Lehrplan können? Was hast Du hier mal beigesteuert, ausser zu sagen, dass Dir die Erklärungen nicht gefallen?

Zitat:
mYthos



Setze nun die Gerade mit der Steigung m durch den Punkt (-2;0) als



an.

  1. Schneide sie mit der Parabel

  2. Die entstehende quadratische Geichung liefert 2 Lösungen von denen die

    2.a Eine wiederum -2 sein muss (weil dies ja auch die Nullstelle der Geraden ist).

    2.b Die zweite Lösung ist (-m + 1)

  3. Diese ist nun die obere Integrationsgrenze für das Integral der Funktionendifferenz als die von den beiden Kurven eingeschlossene Fläche.

  4. Setze dieses nun gleich der halben von der Parabel und der x-Achse eingeschlossenen Fläche (dazu kannst du die Parabel von vornherein nur von 0 bis 2 integrieren)

  5. und löse die entstehende Gleichung nach m auf.



mYthos hat dir z.B. eine komplette Anleitung gegeben, sogar schon die Integrationsgrenzen. Die Integrale wirst du wohl noch ausrechnen können.

Das man nicht mit einem Schritt zu einem Ergebnis kommt, daran wirst Du dich gewöhnen müssen.
2lol4u Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß aber ich muss es auch selber begreifen müssen um es beim lösen erklären zu können, wie ich überhaupt den Rechenweg gekommen bin, sonst ist es ungenügend.

Ich werds mir nochmal verinnerlichen
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Auch beim selber Begreifen kann man dir natürlich helfen, aber du musst einmal anfangen. Schreibe mal die Rechnung an, wie weit du kommst, und dann kann man versuchen, diese schrittweise weiterzuentwickeln.

mY+
2lol4u Auf diesen Beitrag antworten »

Bis zu diesem Punkt habe ich es begriffen:

f(x) = g(x)

<=> -x^2 + 4 = mx + 2m

Nur, wie soll ich diese Gerade mit der Parabel schneiden, um m heraus zu bekommen?
2lol4u Auf diesen Beitrag antworten »

Hoppla, hab mythos post übersehen...

So hab ich es bis jetzt:

f(x) = -x^2+4

g(x) = mx + b

Maßzahl der Fläche der Parabel: 32/3 => Hälfte davon: 16/3

1. Punkt der Geraden: (2 | 0)

g(2) = 0 = 2m + b <=> b = -2m

Steigung der Geraden durch -x^2 + 4 = mx + 2m berechnen

Wenn man Steigung hat, diese *(-2) und man hat b

Nur, wie setzt Geraden- und Parabelgleichung gleich, wenn 2 unbekannte dabei sind, d. h. wie löse ich nach m auf?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Sollte die Gerade nicht von (-2;0) aus gehen? Wie dem auch sei, infolge der Symmetrie geht das gleichermaßen auch von (2;0) aus.

Es sind nicht zwei Unbekannte, sondern eine, nämlich m, denn die Konstante b braucht gar nicht explizit errechnet werden, sie ist ebenfalls ein Ausdruck in m. Die Geradengleichung



ist mit dieser behaftet. Nun siehst du m zunächst als konstant an und schneidest die Gerade mit der Parabel; dazu löst du die beiden Gleichungen nach x und y, das sind die Koordinaten des zweiten Schnittpunktes:




--------------------------------------





Diese quadratische Gleichung wird nach x aufgelöst, eine Lösung davon muss x = 2 sein, die andere ist der x-Wert des zweiten Schnittpunktes, der dann auch die Integrationsgrenze darstellt.

Löse nun diese Gleichung und stelle hiermit den x-Wert des Schnittpunktes in m dar.

Jetzt weisst du, dass die Fläche zwischen den beiden Kurven in den Grenzen von diesem x- Wert bis 2 den Wert 16/3 FE hat. Daraus ergibt sich
eine Gleichung für m, die nach m zu lösen ist.

Schreibe deine Rechenschritte, wenn es immer noch Probleme gibt, genau auf, damit bei Bedarf gezielte Hilfe möglich ist.

mY+
2lol4u Auf diesen Beitrag antworten »

Ja aber in dieser Gleichung hier sind doch 2 unbekannte: x und m



wenn ich nach x auflöse kommt raus:

x^2 + x = 4 + m
2lol4u Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaub ich hab die Gleichung kapiert:

x^2 + mx - 2m - 4 = 0 | -m

x^2 + x - 3m - 4 = 0 | +3m

x^2 + x - 4 = 3m

richtig?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Wie bitte?

Da ist nirgends eine Auflösung nach x zu sehen!
Es liegt eine quadratische Gleichung in x vor und wenn du diese nach x auflöst, muss für x ein Ergebnis (hier noch in m) entstehen und nicht wieder eine Gleichung (die überdies falsch ist).



Diese mit Hilfe der p,q - Formel lösen:









Geht's jetzt?

Hinweis: Du kannst natürlich auch die Tatsache ausnützen, dass die erste Lösung x1 = 2 bereits bekannt ist und deswegen leichter die zweite Lösung ermitteln:

Lt. Vieta ist:





mY+

Die Umformung in deinem zweiten Beitrag ist völlig daneben! Wenn man von mx die Zahl m subtrahiert, bekommt man m(x - 1), aber nicht x!
2lol4u Auf diesen Beitrag antworten »

Verdammt nochmal, wie kann ein einzelner Mensch nur soviel Schwachsinn produzieren böse , selbst die einfachsten Gleichungen löse ich falsch, sorry das du mich so oft korrigieren musst mYthos







=>





Jetzt bräuchte ich nur noch nach m umzuformen um mittels Punkt-Steigungsform die Geradegleichung aufzustellen.

Aber wenn ich schon eine Gleichung nach x falsch auflöse, wie soll ich dann innerhalb eines Integrals nach m auflösen???
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Ansatz stimmt jetzt.

Zugegeben, die weitere Rechnung gestaltet sich nun verhältnismäßig rechenintensiv. Wenn du alles richtig umgeformt hast, bekommst du die Gleichung



deren eine reelle Lösung leider nur näherungsweise oder nach Cardano ermittelt werden kann:



mY+
2lol4u Auf diesen Beitrag antworten »

Wie genau bist du zu dieser Gleichung gekommen:



hast du

hier



oder hier



eingesetzt?

Diese gesamte Aufgabe hier, ist nicht irgendeine Hausaufgabe, das ist ein Aufgabentyp dessen Schema ich für die Klausur nächste Woche können muss, sonst kann ich mich von meiner Versetzung verabschieden.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ersteres muss man durchführen. Zuerst nach x integrieren, dann erst die Grenzen einsetzen.

mY+
2lol4u Auf diesen Beitrag antworten »

Ich Holzkopf komm schon wieder nicht mit Hammer

Ich weiß, dass alle deine Ratschläge gut gemeint sind und du deine Hilfestellungen immer so formulierst, dass ich auf die Lösung von selbst komme aber ich komme mit dieser gesammten Aufgabe nicht klar.

Kannst du mir vll noch ein letztes Mal unter die Arme greifen, mit einer etwas einfachen erklärungung wie man zu



kommt?

Wie man daraus die Näherung für m ausrechnet, bekomm ich schon alleine raus
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du die linke Seite einfach mal nach x integrieren? Dann sehen wir weiter.

mY+
2lol4u Auf diesen Beitrag antworten »

mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist nicht vollständig!
Die ganze Funktion muss integriert werden, also auch ... -(mx - 2m)

mY+
2lol4u Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so ich dachte mit linke seite meinst du die linke klammer

mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

oben beim Integral nicht vergessen!

OK, nun die Klammern aufgelöst, mit den Grenzen UND als Gleichung geschrieben



Mach einmal die nächsten Zeilen, d.h. setze die Grenzen ein, da passieren erfahrungsgemäß die meisten Vorzeichenfehler Big Laugh
2lol4u Auf diesen Beitrag antworten »

mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Da komme ich nicht mit. Leider total unbrauchbar! Viele Fehler in einer einzigen Zeile! traurig
Wie hast du da die Grenzen verarbeitet??
Möglicherweise brauchst du einfach mehr Übung, denn es ist nichts weiter als ein konsequentes Einsetzen und - nicht vergessen - Vorzeichenwechsel bei der unteren Grenze.

SO sollte es aussehen:



mY+
2lol4u Auf diesen Beitrag antworten »

Schon ein Vorzeichenfehler versaut die gesamte Aufageb, nur bleibt es bei mir nicht nur bei diesem einen...

OK, dann muss ich jetzt nur noch diesen Term so vereinfachen, dass rauskommt und dann eine Möglichkeit finden m zu bestimmen, so wie es aussieht, geht das wohl mit polynomdivision.

Gott Tausend Dank für deine Hilfe mYthos, ohne dich hätte ich das niemals geschafft Gott
danke auch allen anderen
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