Kombinatorik: Murmeln und Fächer

14.11.2012, 22:43	M@rtin	Auf diesen Beitrag antworten »
Kombinatorik: Murmeln und Fächer Hi, nach einigen Antworten hab ich heute mal zwei Fragen, die erste hier: 7 Murmeln werden auf 7 Fächer verteiilt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau eines der Fächer leer ist? Es handelt sich um eine Einführungsveranstaltung zu Wahrscheinlichkeit und Statistik, bisherige Themen gingen über Wahrscheinlichkeitsverteilung, Laplace und Kombinatorik, also keine hardcore-Statistik. Idee: Wenn ich davon ausgehe, dass ich zum Verteilen von 7 Murmeln auf 7 Fächer je Murmel 7 Möglichkeiten gibt, also insgesamt 7^7 Möglichkeiten, dann gibt es für 7 Murmeln auf 6 Fächer 6^7 Möglichkeiten, für 7 Murmeln auf 5 Fächer 5^7 Möglichkeiten usw. Es ergben sich also 7^7 Möglichkeiten insgesamt. Davon interessieren mich 6^7 Möglichkeiten abzüglich der Möglichkeiten dass mehr als ein Fach leerbleibt (5^7, 4^7 usw). Das ergäbe als Wahrscheinlichkeit: $\begin{eqnarray} P(A) = \frac{6^{7}-(5^{7}+4^{7}+3^{7}+2^{7}+1^{7})}{7^{7}} = 22,23% \end{eqnarray}$ Aus irgendeinem Grund kommt mir das allerdings etwas spanisch vor. Kann mir jemand helfen? Danke!
14.11.2012, 23:08	M@rtin	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kombinatorik: Murmeln und Fächer Okay... einmal überdacht: Die Anzahl an Möglichkeiten, eine Stichprobe von m ununterscheidbaren Murmeln auf f Fächer zu verteilen, ist $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} m+f-1\\f\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Davon suche ich die Stichproben, die nur auf 6 Fächer verteilt sind. Also käme ich auf $\begin{eqnarray} P(A)=\frac{\begin{pmatrix} 12 \\ 6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 11 \\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 10 \\ 4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 9 \\ 3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 8 \\ 2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 7 \\ 1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 13 \\ 7\end{pmatrix}}= 7,75% \end{eqnarray}$ . Das sieht etwas realistischer aus.

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