Komplexe Nullstellen bestimmen

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Lisa88 Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Nullstellen bestimmen
Guten Abend miteinander smile

Ich soll die komplexen Nullstellen dieses Polynoms finden:


Dafür brauche ich aber doch erstmal ein Nullstelle für die Polynomdivision, oder?
Als Hinweis wird aufgeführt, dass der Realteil einer Nullstelle 2 ist.

Hier die ganze Zeit rumzuprobieren dauert lange..
Mit i +2 habe ich es schon versucht. Ist aber falsch.

Könnt Ihr mir hier bitte einen Tipp geben?

Danke smile
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Bezeichne die erste Nullstelle mit 2 + bi und setze dies in die Gleichung ein.
Damit kannst du b ausrechnen (Koeffizientenvergleich).

mY+
Lisa88 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Antwort mYthos.

Den Koeffizientenvergleich habe ich noch nicht richtig verstanden, ich habe nur ein Beispiel dazu in einer ähnlichen Aufgabe.

Mein Ansatz wäre:



In die Richtung?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, so wird das nicht funktionieren. Das wird schwer, um b zu berechnen. Ausserdem ist das b links und das b in der rechten Klammer doch nicht die gleiche Zahl, also vergiss es.

Ich habe es so gemeint (2 + bi in die Gleichung anstatt x einsetzen, weil es doch eine Lösung ist):



Nun einfach auspotenzieren, ordnen, i ausklammern:



Wenn jetzt die linke komplexe Zahl gleich der rechten sein soll, so muss links sowohl der Realteil, als auch der Imaginärteil gleich Null sein, das ergibt sich eben aus dem Koeffizientenvergleich.

Es gibt nun zwei Gleichungen, eine quadratische und eine kubische:





Die erste ist leichter zu lösen, weil sie quadratisch ist.
Von deren beiden Lösungen kommt nur jene in Betracht, welche auch Lösung der zweiten Gleichung ist.

--> b = 3

.. weil ich heute einen guten Tag habe Big Laugh

mY+
Lisa88 Auf diesen Beitrag antworten »

smile Danke, danke und nochmal danke für diese ausfürliche und super verständliche Antwort mYthos Mit Zunge

Ich bin schon sehr müde und muss nun ins Bettchen, ich mache morgen weiter und poste dann die anderen (hoffentlich richtigen) Nullstellen, nach deiner tollen Vorlage smile

Schlaf gut Wink
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, du auch.
______

Mir ist noch etwas anderes dazu eingefallen: Wenn 2 + bi eine Lösung der Gleichung sein soll, so muss (2 + bi) in 39 - 65i enthalten sein (denn das Produkt aller 3 Lösungen ist in einer normalisierten* Gleichung) gleich dem (negativen) konstanten Glied.
Und wegen
39 - 65i = 13*(3 - 5i)
muss auch der Betrag von 2 + bi diesen Term teilen. Das kann nur der Fall sein, wenn 2² + b² = 13 ist. Was dann daraus folgt, wird dir wohl auch klar sein ...

(*) Koeffizient des x-Gliedes mit der höchsten Potenz = 1

mY+
 
 
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos

.. weil ich heute einen guten Tag habe Big Laugh



und weil du das Ganze heute schon mal durchexerziert hast Augenzwinkern

Gruß
Peter
Lisa88 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe also neben 2 + 3i Augenzwinkern noch die Nullstellen 5-i und 4i+1 gefunden.
Ich hoffe die sind richtig, dankeschön noch einmal mYthos smile
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Japp, die stimmen! smile

mY+
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