Minimum existiert

15.11.2012, 00:02

Kalabakov

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Minimum existiert

Hi
Ich habe einen normierten Raum X mit Norm ||.|| und eine abgeschlossene nichtleere Teilmenge dieses Raumes und ein x aus X.
Meine Frage ist, mit welcher Begründung das Minimum von $\begin{eqnarray*} M=\left\{ ||x-y|| y \in A \right\} \end{eqnarray*}$ existiert?
Das Infimum existiert, da die Menge nach unten durch 0 beschränkt ist.
Ich dachte, dass das Infimum von M ein Häufungswert von M ist, weshalb es eine Folge in M gibt (d.h. eine Folge von Abständen), die gegen das Infimum konvergiert. Deshalb gibt es dann eine Folge in A (also eine Folge von y´s), die konvergiert. Da A abgeschlossen, ist der Grenzwert dieser Folge in A. Und damit der Grenzwert der Abstandsfolge, also das Infimum, auch in M.
Geht das so?

15.11.2012, 11:18

Kalabakov

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Hi!
Ist das vom Prinzip her zumindest richtig was ich da geschrieben habe? Es müsste eigentlich eine Trivialität zu zeigen sein, doch etwas besseres fällt mir trotzdem nicht ein.... übersehe ich etwas? verwirrt

verwirrt

15.11.2012, 16:43

Kalabakov

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Hi!
Kann mir zumindest jemand sagen, ob das was ich hier zeigen will, überhaupt stimmt? Big Laugh

Big Laugh

Darauf könnte man dann aufbauen.

15.11.2012, 17:01

EinGast

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hm, was wäre bei z.B. $\begin{eqnarray*} X=\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} A=\{x\in\mathbb{Q}\mid x\ge \sqrt{2}\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ ?

15.11.2012, 18:21

Kalabakov

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Ok, dann hat sich das min erledigt xD Dann eine andere Frage:
Wenn ich eine Funktion habe $\begin{eqnarray*} d(x,A)=inf\left\{ ||x-y|| y \in A\right\} \end{eqnarray*}$ für abgeschlossenes festes A. Wieso ist d dann stetig? Kann man das infimum einfach ignorieren und sagen die Norm ist stetig?

15.11.2012, 18:33

EinGast

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Man kann zeigen, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} d(\cdot,A)\colon X\to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ Lipschitz-stetig ist (sogar für jede nichtleere Teilmenge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ):
Es seien $\begin{eqnarray*} x,y\in X \end{eqnarray*}$ . Für jedes $\begin{eqnarray*} a\in A \end{eqnarray*}$ gilt dann $\begin{eqnarray*} d(x,a)\leqslant d(x,y)+d(y,a) \end{eqnarray*}$ , und daraus folgt ....

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15.11.2012, 20:14

RavenOnJ

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Die Norm ist eine stetige Abbildung. Wenn A abgeschlossen ist, dann ist d(x,A) sogar das Minimum:

$\begin{eqnarray*} d(x,A) = \inf \{\|x-y\|, y\in A\} = \min \{\|x-y\|, y\in A\} \end{eqnarray*}$

Aber die allgemeine Definition für beliebige Teilmengen ist das Infimum des Abstandes zu allen Punkten der Teilmenge. Wieso willst du das Infimum ignorieren? Das gehört zur Definition des Abstandes.

15.11.2012, 20:38

Kalabakov

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verwirrt

Also dann war das gegenbeispiel von EinGast gar keins weil Q kein normierter Raum ist?Dann gilt noch immer die Frage warum denn nun $\begin{eqnarray*} inf\left\{ ||x-y|| y\in A\right\} = min\left\{ ||x-y|| y\in A\right\} \end{eqnarray*}$ gilt? Kann das jemand weiter ausführen?

Und ich wollte das inf auch nicht ignorieren in der Funktion d ich wollte nur wissen ob $\begin{eqnarray*} d(x,A)=inf\left\{ ||x-y|| y\in A\right\} \end{eqnarray*}$ automatisch stetig ist wenn man sagt dass die Norm steteig ist? Aber das soll ja laut EinGast mit lipschitz stetigkeit gehen ??

16.11.2012, 14:30

Kalabakov

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Hi
Ok die Stetigkeit der Funktoin ist mir jetzt klar (mit Lipschitz Stetigkeit)
Doch warum das Minimum existiert ist mir noch immer unklar unglücklich

unglücklich

Folgt aus $\begin{eqnarray*} ||x-y_{n}|| \to z \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ dass yn in X konvergiert?

16.11.2012, 15:37

RavenOnJ

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Nimm eine Cauchy-Folge $\begin{eqnarray*} (y_n) \end{eqnarray*}$ in A mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty} y_n = y \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} \|x-y_n\| \end{eqnarray*}$ zum Infimum konvergiert (A soll keine isolierten Punkte haben, die näher an x liegen, da in dem Fall das Minimum sowieso angenommen wird.). Da A abgeschlossen ist, gehört $\begin{align*} y \end{align*}$ ebenfalls zu A, d.h. das Infimum wird in der Menge $\begin{eqnarray*} \inf\{\|x-z\|, z\in A\} \end{eqnarray*}$ angenommen und ist gleich $\begin{eqnarray*} \min\{\|x-z\|,z\in A\} = \|x-y\| \end{eqnarray*}$ .

16.11.2012, 19:42

Kalabakov

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Hi
Ja so ähnlich wollte ich es ja auch machen. Dass es eine Folge von y´s in A gibt sodass $\begin{eqnarray*} ||x-y_{n}|| \end{eqnarray*}$ gegen das infimum konvergiert ist klar. Aber warum kann man isch eine CauchyFolge basteln die diese bedingung erfüllt? Vll gibt es ja nur eine normale Folge die das erfüllt?

16.11.2012, 22:26

RavenOnJ

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was ist denn in deinen Augen eine "normale" Folge?

16.11.2012, 22:34

Kalabakov

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Hi
Ja also ich meinte dass die yn vielleicht nicht konvergieren.
Man will doch sagen dass es wegen der Eigenschaft des Infimums immer eine Folge $\begin{eqnarray*} ||x-y_{n}|| \end{eqnarray*}$ gibt die gegen das Infimum konvergiert.
Wenn jetzt die Folge der yn konvergiert dann folgt aus der abgeschlossenheit von A dass das infimum ein minimum ist, das habe ich verstanden.
Aber warum kann man sagen dass die yn´s auf jedenfall selbst konvergieren?
Und warum soll die Folge der yn´s auch noch eine Cauchyfolge sein? Was bringt das? Die konvergiert doch auch nur in einem vollständigen Raum?

16.11.2012, 22:45

EinGast

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Zitat:

Original von Kalabakov
Aber warum kann man sagen dass die yn´s auf jedenfall selbst konvergieren?

das tun sie auch nicht im allgemeinen, zB. A=Kreis um x=(0,0) im R²

16.11.2012, 22:57

RavenOnJ

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Ich habe gar nicht gemeint, dass alle Folgen auf jeden Fall konvergieren, darum geht es nicht. Der Abschluss $\begin{align*} \overline A \end{align*}$ von $\begin{align*} A \end{align*}$ ist aber nun mal so definiert, dass alle konvergenten Folgen ihren Häufungspunkt innerhalb von $\begin{align*} \overline A \end{align*}$ haben, wobei in diesem Fall wegen seiner Abgeschlossenheit $\begin{align*} A = \overline A \end{align*}$ . Es muss nun eine Folge in $\begin{align*} A \end{align*}$ geben, die gegen einen Punkt y innerhalb von $\begin{align*} A \end{align*}$ konvergiert, für den $\begin{align*} \|x - y\| = \inf\{\|x-z\|,z\in A\} \end{align*}$ . Denn gäbe es diesen nicht, dann wäre $\begin{align*} A \end{align*}$ nicht abgeschlossen. Man kann dies natürlich noch formal mit dem $\begin{align*} \epsilon \end{align*}$ -Verfahren zeigen.

16.11.2012, 22:57

Kalabakov

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Hi EinGast bist auch noch dabei xD
Ja sowas mit Kreisen dachte ich wäre halt vll ein Problem deshalb verstehe ich ja auch Ravens Antwort nicht?
Kann nicht einer von euch beiden die Sache hier einfach aufklären >.> Das ist nichtmal eine Aufgabe mir gehts hier nur ums verständnis...

16.11.2012, 23:12

EinGast

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Zitat:

Original von Kalabakov
verstehe ich ja auch Ravens Antwort nicht?

ich ehrlich gesagt auch nicht. Ich bin mir auch nicht sicher, ob es nun ein Minimum ist oder nicht...
man wählt eine Folge $\begin{eqnarray*} (y_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ so, dass $\begin{eqnarray*} \|x-y_n\|\to d(x,A) \end{eqnarray*}$ , und ich sehe keinen Grund, warum man $\begin{eqnarray*} (y_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ konvergent wählen könnte...

16.11.2012, 23:14

Kalabakov

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Zitat:

Original von RavenOnJ
Es muss nun eine Folge in $\begin{align*} A \end{align*}$ geben, die gegen einen Punkt y innerhalb von $\begin{align*} A \end{align*}$ konvergiert, für den $\begin{align*} \|x - y\| = \inf\{\|x-z\|,z\in A\} \end{align*}$ . Denn gäbe es diesen nicht, dann wäre $\begin{align*} A \end{align*}$ nicht abgeschlossen. Man kann dies natürlich noch formal mit dem $\begin{align*} \epsilon \end{align*}$ -Verfahren zeigen.

Hi, das verstehe ich einfach nicht. Von den yn´s wissen wir nicht ob sie konvergieren. Und die Folge $\begin{eqnarray*} ||x-y_{n}|| \end{eqnarray*}$ ist doch eine Folge in R? Wo kommt da plötzlich der Grenzwert her, der in A liegen muss? Mir fehlt hier echt der Druchblick unglücklich

unglücklich

17.11.2012, 12:00

RavenOnJ

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Ich wollte gestern Breaking Bad anschauen, deswegen habe ich nicht mehr geantwortet Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Also nochmal:
Wir haben einen normierten Raum $\begin{align*} X \end{align*}$ mit der durch die Norm induzierten Metrik $\begin{align*} d(x,y) := \|x-y\| \end{align*}$ . Die Norm ist eine stetige Funktion auf $\begin{align*} X \end{align*}$ . Für eine stetige Funktion $\begin{align*} f: X \to V \end{align*}$ zwischen metrischen Räumen ( $\begin{align*} \mathbb R \end{align*}$ ist auch ein metrischer Raum) gilt die Äquivalenz:

$\begin{eqnarray*} \small f \text{ ist stetig } \Longleftrightarrow \text{ für jede Folge }(y_n) \text{ in }X\text{ mit }y_n \rightarrow y \text{ gilt }f(y_n)\rightarrow f(y) \end{eqnarray*}$

Der Abstand von $\begin{align*} x\in X \end{align*}$ zu irgendeiner Teilmenge $\begin{align*} B\subset X \end{align*}$ ist definiert als $\begin{align*} d(x,B) := inf\{\|x-z\|, z\in B\} \end{align*}$ .

Nun betrachten wir eine abgeschlossene Teilmenge $\begin{align*} A\subset X \end{align*}$ und einen Punkt $\begin{align*} x\in X \end{align*}$ . Ist $\begin{align*} x\in A \end{align*}$ , dann ist der Abstand trivialerweise 0. Sei also $\begin{align*} x\not \in A \end{align*}$ . Da $\begin{align*} A \end{align*}$ abgeschlossen ist, enthält die Menge alle ihre Häufungspunkte. Zu jeder Folge $\begin{align*} \small (y_n)\text{ in } A \end{align*}$ mit $\begin{align*} y_n \rightarrow y \end{align*}$ , ist also $\begin{align*} y\in A \end{align*}$ . Da nun die Norm eine stetige Funktion auf $\begin{align*} X \end{align*}$ ist, geht die Funktion $\begin{align*} d_x: A\to \mathbb{R}, z\mapsto d(x,z) = \|x-z\| \end{align*}$ für die Folge $\begin{align*} (y_n)\rightarrow y \end{align*}$ gegen den Funktionswert $\begin{align*} d_x(y) = d(x,y) \end{align*}$ .

Die obige Definition von $\begin{align*} d(x,A) := \inf\{\|x-z\|,z\in A\} \end{align*}$ impliziert, dass man eine Folge $\begin{align*} (y_n) \end{align*}$ aus $\begin{align*} A \end{align*}$ auswählen kann mit $\begin{align*} d_x(y_n) =d(x,y_n)\rightarrow d(x,A) \end{align*}$ . Also ist

$\begin{eqnarray*} \lim_{y_n\to y}d_x(y_n) = d_x(y) = d(x,y) = d(x,A) \end{eqnarray*}$

und dieses $\begin{align*} d(x,y) \end{align*}$ ist das Minimum von $\begin{align*} \{\|x-z\|, z\in A\} \end{align*}$ , nicht nur das Infimum, da $\begin{align*} y\in A \end{align*}$ wegen der Abgeschlossenheit von $\begin{align*} A \end{align*}$ .

17.11.2012, 13:10

Kalabakov

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Hi Raven
und vielen Dank für deine ausführliche Antwort. Es ist wirklich alles klar, auch, worauf du gewissermaßen hinauswillst, bis auf den wohl entscheidenen (?) Schritt.

Zitat:

Original von RavenOnJ

Die obige Definition von $\begin{align*} d(x,A) := \inf\{\|x-z\|,z\in A\} \end{align*}$ impliziert, dass man eine Folge $\begin{align*} (y_n) \end{align*}$ aus $\begin{align*} A \end{align*}$ auswählen kann mit $\begin{align*} d_x(y_n) =d(x,y_n)\rightarrow d(x,A) \end{align*}$ .

Bis hierhin incl ist alles klar. Die Folge der yn ist aber doch jetzt schon fix gewissemaßen? Also meinetwegen y1=1, y2=1.4, y3=0.7 usw. Es natürlich vll keine Zahlen in R, aber genrell ist die Folge doch jetzt gewählt?

Wie kannst du dann jetzt in

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{y_n\to y}d_x(y_n) = d_x(y) = d(x,y) = d(x,A) \end{eqnarray*}$

einfach die yn gegen ein y laufen lassen? Wir hatten doch gesagt die yn konvergieren vll gar nicht? Bzw was ist die genaue begründung dafür, dass du wohl auf jedenfall eine konvergente Folge yn´s findest, die die Beziehung $\begin{align*} d_x(y_n) =d(x,y_n)\rightarrow d(x,A) \end{align*}$ erfüllt?

17.11.2012, 13:40

RavenOnJ

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$\begin{eqnarray*} d_x(y_n) =d(x,y_n)\rightarrow d(x,A) \end{eqnarray*}$

dies soll eine Bedingung an die Folge sein, es ist also nicht so, dass ich irgendeine Folge auswähle, sondern nur eine, die diese Bedingung erfüllt. Warum kann ich dies fordern oder anders, warum existiert eine solche Folge? Dies kann man durch Widerspruch lösen:
Annahme: Es gebe keine solche Folge. Dann würde für jede konvergente Folge $\begin{align*} (z_n) \end{align*}$ aus $\begin{align*} A \end{align*}$ , mit $\begin{align*} z_n \to z \end{align*}$ gelten: $\begin{align*} \forall z_n:d(x,z_n) > d(x,A) \end{align*}$ . Daraus folgt für alle konvergenten Folgen $\begin{align*} (z_n) : d(x,z) > d(x,A) \end{align*}$ . Da aber $\begin{align*} d(x,A) \end{align*}$ definiert ist als das Infimum $\begin{align*} \inf\{d(x,t), t\in A\} \end{align*}$ , ergibt sich ein Widerspruch. Daraus folgt die Existenz einer solchen Folge mit der obigen Eigenschaft.

Eine solche Folge existiert für alle Teilmengen von $\begin{align*} X \end{align*}$ , nicht nur für die abgeschlossenen. Aber nur für die abgeschlossenen nimmt für alle $\begin{align*} x\in X \end{align*}$ das Infimum das Minimum an.

17.11.2012, 14:23

Kalabakov

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Hi
benutzt du für den Widerspruch, dass jedes $\begin{eqnarray*} t\in A \end{eqnarray*}$ der Grenzwert einer konvergenten Folge in A mit $\begin{eqnarray*} z_{n}=t \end{eqnarray*}$ ist?

17.11.2012, 15:02

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Kalabakov
benutzt du für den Widerspruch, dass jedes $\begin{eqnarray*} t\in A \end{eqnarray*}$ der Grenzwert einer konvergenten Folge in A mit $\begin{eqnarray*} z_{n}=t \end{eqnarray*}$ ist?

Nein, nicht unbedingt. Solche Folgen sind natürlich auch möglich, inbesondere, wenn t ein isolierter Punkt ist. Es ist aber i.d.R. nicht notwendig oder sogar kontraproduktiv, sich auf solche Folgen zubeschränken. Vor allem dann, wenn man allgemeine (nicht abgeschlossene) Teilmengen von X betrachtet, denn dann gibt es ja konvergente Folgen, deren Limes außerhalb der Teilmenge liegt. Wenn man sich nur auf konstante Folgen beschränken würde, dann würde keine dieser Folgen im Limes zu einem Randpunkt der Teilmenge streben.

17.11.2012, 15:43

Kalabakov

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Hi
dann verstehe ich den Widerspruch widerum nicht >.>

Zitat:

Daraus folgt für alle konvergenten Folgen $\begin{align*} (z_n) : d(x,z) > d(x,A) \end{align*}$ .

Ich hätte jetzt gesagt, dass jedes x aus A ist der grenzwert einer konvergenten Folge in A (halt der Folge, die konstant x ist), und das wäre dann der Widerspruch zur Infimumseigenschaft mit der Ungleichung (das Infimum wäre dann gar kein Infimum). Wie sieht denn dein Widerspruch aus?

17.11.2012, 16:10

RavenOnJ

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Es sollte gelten (um den trivialen Fall auszuschließen): $\begin{align*} x\not\in A \end{align*}$ . Für eine konvergente Folge $\begin{align*} (z_n)\to z ,z_n\in A \end{align*}$ kann nur gelten

$\begin{eqnarray*} \forall z_n:d(x,z_n) > d(x,A) \Rightarrow d(x,z) > d(x,A) \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} d(x,z) \to d(x,A) \end{eqnarray*}$

Da letzteres aber explizit durch die (falsche!) Annahme, es gebe keine solche Folge, ausgeschlossen wurde, muss es ein $\begin{align*} \delta > 0 \end{align*}$ geben mit

$\begin{eqnarray*} d(x,z) - d(x,A) \ge \delta >0,\forall z\in A \end{eqnarray*}$

Alle z sind also (unter dieser Annahme!) mindestens $\begin{align*} d(x,A)+\delta \end{align*}$ von x entfernt. Woher soll also das Infimum kommen? Es gilt doch wegen der Defintion des Infimums: In jeder noch so kleinen Umgebung des Infimums müssen Abstände d(x,t) liegen, d.h. es muss ein Element t von A mit einem Abstand zu x von $\begin{align*} d(x,t) < d(x,A) +\delta \end{align*}$ geben. Siehst du den Widerspruch?

17.11.2012, 16:51

Kalabakov

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Hi
Mh ja, ich denke ich sehe den Widerspruch, das war so auch mein Gedanke. Ist dein Widerspruch nicht genauso wie meiner (bis auf die bessere Ausformulierung). Benutzt du von hier $\begin{align*} (z_n)\to z ,z_n\in A \end{align*}$ nach hier $\begin{eqnarray*} d(x,z) - d(x,A) \ge \delta >0,\forall z\in A \end{eqnarray*}$ nicht auch, dass jedes z in A grenzwert einer konvergenten Folge ist ? Also bpsw auch einer konstanten Folge?

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