Faltung berechnen

15.11.2012, 09:39

helpmeplease

Faltung berechnen

Meine Frage:
Wir müssen die Faltung für die gegebene Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(x)=1, falls 0 < x < \pi <br /> 0, sonst<br /> \end{eqnarray*}$

Berechne f * f

Meine Ideen:
Ich hab keine Ahnung wie ich hier überhaupt rangehen soll, die formel für die Faltung ist ja

$\begin{eqnarray*} (f*g)(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi } } \int_\mathbb R \! f(x-y)g(y)dy \, \end{eqnarray*}$

Soll ich jetzt einfach die Grenzen 1 und Pi einsetzen und einfach das integral berechnen oder was muss man machen :S???

Edit Equester: Hilfeschrei aus Titel entfernt.

15.11.2012, 10:22

bloodybeginner

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RE: Faltung berechnen!?!? HILFE!!!
Kann mir hier echt keiner weiterhelfen???

$\begin{eqnarray*} \int_0^\pi \! f(x-y)g(y) \, dy = \int_0^\pi \! f(x-y) \, dy \end{eqnarray*}$

und ab hier komm ich nciht mehr weiter?? Ich hab im internet ein paar fallunterscheidungen an dieser stelle gesehen, aber ich verstehe nicht genau wie das gemacht wird?!?

ich weiss ja nur, dass die funktion 1 ergibt wenn sich x zwischen den grenzen befindet?!?

also ist $\begin{eqnarray*} f(x-y) = 1, wenn 0 < x -y < \pi \end{eqnarray*}$ oder was :S??S??

15.11.2012, 10:37

EinGast

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RE: Faltung berechnen!?!? HILFE!!!
ich würde zunächst beim Integral $\begin{eqnarray*} \int_0^\pi f(x-y)\, dy \end{eqnarray*}$ die Substitution $\begin{eqnarray*} u=x-y \end{eqnarray*}$ machen

15.11.2012, 14:29

bloodybeginner

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RE: Faltung berechnen!?!? HILFE!!!
Ich habe ein bisschen probleme mit der substitution:

$\begin{eqnarray*} x - y = u \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{d_{u} }{d_{y} } = -1 \end{eqnarray*}$

und beim einsetzen bin ich mir nicht sicher, ob ich das richtig mit den grenzen mache???

$\begin{eqnarray*} \int_{x-0}^{x-\pi } \! -f(u) \, du \end{eqnarray*}$

und dann hat man durch einsetzen dass stammfunktion von 1 eincah 0 ist nur: $\begin{eqnarray*} x - \pi -x = \pi \end{eqnarray*}$ \

aber kann dass denn richtig sein????

15.11.2012, 14:47

bloodybeginner

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RE: Faltung berechnen!?!? HILFE!!!
ich rechne schon lange daran und bin mittlerweile am verzweifeln :S :S

15.11.2012, 15:13

EinGast

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RE: Faltung berechnen!?!? HILFE!!!

Zitat:

Original von bloodybeginner
und beim einsetzen bin ich mir nicht sicher, ob ich das richtig mit den grenzen mache???

$\begin{eqnarray*} \int_{x-0}^{x-\pi } \! -f(u) \, du \end{eqnarray*}$

ja, das stimmt, und man kann noch die Integrationsgrenzen vertauschen, sodass die kleinere unten steht (dann verschwindet das Minus). Wir haben also

$\begin{eqnarray*} (f*f)(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{x-\pi}^x f(u)\, du \end{eqnarray*}$

und dieses Integral lässt sich leicht bestimmen durch Unterscheiden der drei Fälle $\begin{eqnarray*} x\leqslant 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} 0<x<\pi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\geqslant \pi \end{eqnarray*}$

15.11.2012, 15:58

bloodybeginner

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RE: Faltung berechnen!?!? HILFE!!!
Ahh, oke, bei Fallunterscheidungen mache ich immer fehler.

ist es dann also, dass wenn mein $\begin{eqnarray*} x \leq 0 \end{eqnarray*}$ , dann ist die obere grenze maximal 0 und sonst im minus bereich, und die untere auch?? und dafuer ist die funktion 0??

fuer die mittlere grenze auch 0 ?? weil mein x ja nie genau $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ sein wird??? \

und dann ist nur fuer den dritten fall die funktion definiert??

ist das so richtig?? wie finde ich denn diese fallunterscheidung allgemein in anderen funktionen??

15.11.2012, 16:00

bloodybeginner

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RE: Faltung berechnen!?!? HILFE!!!
Also fuer den zweiten teil meiner frage: ich meine, mir ist klar dass ich sage wenn $\begin{eqnarray*} x = \pi \end{eqnarray*}$ ist, dass dann die grenzen so definiert sind, aber ich weiss nicht bzw sehe nicht wieso mann dann nochmal unterschieden hat, dass x zwischen 0 und pi liegt oder kleiner als 0 ist

15.11.2012, 16:13

HAL 9000

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Zitat:

Original von EinGast
und dieses Integral lässt sich leicht bestimmen durch Unterscheiden der drei Fälle $\begin{eqnarray*} x\leqslant 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} 0<x<\pi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\geqslant \pi \end{eqnarray*}$

Wobei der Fall $\begin{eqnarray*} x\geq \pi \end{eqnarray*}$ letztlich dann doch nochmal unterteilt wird in $\begin{eqnarray*} \pi\leq x<2\pi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\geq 2\pi \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

15.11.2012, 16:14

bloodybeginner

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Und was passiert dann mit dem Fall wo das x zwischen pi und 2pi ist??
koennt ihr mir einen rat geben, wie ich daran rangehen soll und das loesen kann???

15.11.2012, 16:26

HAL 9000

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Da $\begin{eqnarray*} f(u)= 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} u>\pi \end{eqnarray*}$ , wird das Integral an dieser Grenze $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ "gedeckelt", d.h., für $\begin{eqnarray*} \pi \leq x<2\pi \end{eqnarray*}$ ist dann

$\begin{eqnarray*} \int_{x-\pi}^x f(u) ~ \dd u = \int_{x-\pi}^{\pi} f(u) ~ \dd u = \int_{x-\pi}^{\pi} 1 ~ \dd u = \pi-(x-\pi) = 2\pi-x \end{eqnarray*}$ .

15.11.2012, 16:38

bloodybeginner

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ich verstehe nicht genau was du meinst, meine untere grenye ist dann mindestens 0 und geht fast bis pi... wieso musste man das so machen :S???

15.11.2012, 16:43

EinGast

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RE: Faltung berechnen!?!? HILFE!!!
@HAL 9000: oh ja - danke für den Hinweis!

15.11.2012, 17:57

bloodybeginner

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RE: Faltung berechnen!?!? HILFE!!!
und was wenn mein x zwischen 0 und 1 waere. wie wuerden dann die grenzen in der unterscheidung aussehen??

15.11.2012, 17:58

HAL 9000

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Zitat:

Original von bloodybeginner
meine untere grenze ist dann mindestens 0

Aber auch mindestens $\begin{eqnarray*} x-\pi \end{eqnarray*}$ , und in eben jenem Fall $\begin{eqnarray*} \pi\leq x< 2\pi \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} x-\pi\geq 0 \end{eqnarray*}$ , also ist dieser Wert letztlich die maßgebliche untere Integralgrenze, wenn wir für den Integranden den Wert 1 einsetzen wollen.

Zitat:

Original von bloodybeginner
und geht fast bis pi...

Nein, wie bei der unteren Grenzen ist die obere Grenze höchstens $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ , aber auch höchstens $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ - im Fall $\begin{eqnarray*} \pi\leq x< 2\pi \end{eqnarray*}$ kommt dann der kleinere Wert $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ als obere Integralgrenze zum Tragen.

Allgemein kann man also sagen

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(u) ~ \dd u = \int\limits_{\max(0,x-\pi)}^{\min(\pi,x)} 1 ~ \dd u \end{eqnarray*}$ ,

allerdings auch nur für jene $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , die überhaupt $\begin{eqnarray*} \max(0,x-\pi) \leq \min(\pi,x) \end{eqnarray*}$ erfüllen - für alle anderen ist das Integrationsintervall "leer", d.h. der Integralwert gleich Null.

15.11.2012, 18:09

bloodybeginner

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ja aber hier ist mir nicht ganz klar,, wenn am anfang mein integral nur zwischen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ definiert ist, hier aber die neuen grenzen also $\begin{eqnarray*} x - \pi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ sind, wieso darf ich die definition der funktion einsetzen, wenn die grenzen nicht gleich sind??

15.11.2012, 18:26

bloodybeginner

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und setyt man nicht normalerweise das z.b a < x < b so ein, dass mein a die untere grenze und b die obere des integrals ist, aber hier haben wir das verkehrt gemacht??

15.11.2012, 19:54

HAL 9000

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Zitat:

Original von bloodybeginner
ja aber hier ist mir nicht ganz klar,, wenn am anfang mein integral nur zwischen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ definiert ist, hier aber die neuen grenzen also $\begin{eqnarray*} x - \pi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ sind, wieso darf ich die definition der funktion einsetzen, wenn die grenzen nicht gleich sind??

Die Grenzen des Integrals (nach der hier vorgenommenen Substitution) sind $\begin{eqnarray*} x-\pi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ - es geht darum, auf welchem Teilintervall (!) davon man dann auch wirklich den Integranden 1 einsetzen darf.

Mal dir doch das ganze mal auf dem Zahlenstrahl auf, wenn du es formelmäßig so überhaupt nicht kapierst: Es geht um den Durchschnitt zweier Intervalle der Länge $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ : Das eine ist $\begin{eqnarray*} [0,\pi] \end{eqnarray*}$ , das andere $\begin{eqnarray*} [x-\pi,x] \end{eqnarray*}$ . Je nach Lage von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ sieht dieser Durchschnitt eben anders aus, aber letzten Endes ist dieser Durchschnitt genau der Bereich, über den integriert wird UND wo zugleich der Integrand gleich 1 ist.

P.S.: Was für eine schwere Geburt. Das war jetzt mein letzter Versuch, wenn das auch nicht reicht, muss ein anderer ran. unglücklich

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