lineare optimierung mit Nebenbedingungen

15.11.2012, 10:12	alhonso	Auf diesen Beitrag antworten »
lineare optimierung mit Nebenbedingungen Meine Frage: Hallo liebe User, im Rahmen meiner Masterarbeit befasse ich mich mit Genossenschaften und möchte dort eingangs einen Teil des Problems mathematisch darstellen, weiß aber nicht genau weiter. folgende Aufgabenstellung: Eine Genossenschaft mit n Kunden produziert X. Jedes Mitglied verbraucht x1 Einheiten davon zum Preis pg. Die überschüssige Menge (X-x1n) wird an den Markt zum Preis pm verkauft. Die Genossenschaft selbst will keinen Gewinn erzielen und ihre Mitglieder optimal fördern, d. h. sie versucht den Gewinn den sie durch die Marktgeschäfte erzielen würde sofort durch billigere Preise an die Mitglieder weiterzugeben. Sie hat also das Ziel der Minimierung von pg. Gesetzlich ist sie einigen Auflagen unterworfen, nämlich dass die Mitglieder mindestens 70 % der produzierten Menge erhalten müssen (=Nebenbedingung 1) und dass mindestens 50 % der gesamten Einnahmen aus Mitgliedergeschäften stammen müssen (=Nebenbedingung 2). Mathematisch ausgedrückt sieht das folgendermaßen aus: Gewinn = Einnahmen Mitglieder + Einnahmen Markt - Kosten Da der Gewinn = 0 sein soll, folgt: 0 = pgx1n + pm (X-x1n) - C -> pg=(pm(X-x1n)-C))/-(x1n) min pg unter den Nebenbedingunen: x1n/X >= 0,7 Nebenbedingung 1 (C-(pm(X-x1n))/C >= 0,5 Nebendedingung 2 (schon vereinfacht) 0<= x1n <= X Ziel ist es also die optimale Mitgliederstruktur festzustellen, bei der der Genossenschaftspreis pg minimal ist. Hat jemand eine Idee wie ich hier weiter vorgehen muss? Meine Ideen: Da ich ja herausfinden will, wie sich pg ändert, wenn sich n ändert, werde ich pg nach n ableiten müssen. Ich bin mir aber nicht sicher wie ich mit den Nebenbedingungen umgehe, da diese Ungleichungen sind. Bei Gleichheitszeichen könnte ich die Lagrangefunktion verwenden, oder?
15.11.2012, 12:34	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe deine Frage mal in Latex gesetzt zur besseren Lesbarkeit (mit gewissen Änderungen , beispielsweise sollen $\begin{align} C \end{align}$ bei dir bestimmt die Kosten sein, die ich mal in Abhängigkeit von X gesetzt habe): Eine Genossenschaft mit $\begin{align} n \end{align}$ Mitgliedern produziert $\begin{align} X \end{align}$ Güter zu den Kosten $\begin{align} C_X \end{align}$ . Jedes Mitglied verbraucht $\begin{align} x_1 \end{align}$ Einheiten davon zum Preis $\begin{align} p_g \end{align}$ . Die überschüssige Menge $\begin{align} (X-x_1n) \end{align}$ wird am Markt zum Preis $\begin{align} p_m \end{align}$ verkauft. Die Genossenschaft selbst will keinen Gewinn erzielen und ihre Mitglieder optimal fördern, d. h. sie versucht den Gewinn, den sie durch die Marktgeschäfte erzielen würde sofort durch billigere Preise an die Mitglieder weiterzugeben. Sie hat also das Ziel der Minimierung von $\begin{align} p_g \end{align}$ . Gesetzlich ist sie einigen Auflagen unterworfen, nämlich dass die Mitglieder mindestens 70 % der produzierten Menge erhalten müssen (=Nebenbedingung 1) und dass mindestens 50 % der gesamten Einnahmen aus Mitgliedergeschäften stammen müssen (=Nebenbedingung 2). Kein Gewinn: $\begin{eqnarray} p_g x_1 n + p_m (X-x_1 n) = C_X \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow p_g = \frac{C_X- p_m (X - x_1 n)} {x_1 n} \end{eqnarray}$ Nebenbedingung 1: $\begin{align} x_1 n /X \ge 0,7 \end{align}$ Nebenbedingung 2: $\begin{eqnarray} \frac{p_m (X-x_1 n)}{C_X}\le 0,5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0\le x_1 n \le X \end{eqnarray}$ Ziel ist es, die optimale Mitgliederstruktur festzustellen, bei der der Genossenschaftspreis $\begin{align} p_g \end{align}$ minimal ist. Gruß Peter
15.11.2012, 12:37	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist der Marktpreis $\begin{align} p_m \end{align}$ fest oder variabel?
15.11.2012, 16:19	alhonso	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Peter, vielen Dank für deine Antwort. Zu deiner Frage: es handelt sich hierbei um eine Energiegenossenschaft, d. h. dass der Markt kompetitiv ist und die Genossenschaft den Preis pm nicht beeinflussen kann. Ansonsten ist er natürlich variabel. Für jede Einheit x, die verkauft wird, erhält die Genossenschaft pm. Desweiteren sind die Kosten C hauptsächlich fix und deshalb nur in geringem Maße abhängig von x. Ich habe sie deshalb auch als C und nicht als C(x) bezeichnet. Sorry für diese Unklarheit. Das macht für die eigentliche Problemstellung aber keinen Unterschied oder? ich muss die Zielfunktion ja nach n ableiten, oder? ich bin mir nicht ganz sicher wie ich hier jetzt weiter vorgehen muss? Prinzipiell habe ich ja nur eine Variable, nämlich die Anzahl an Mitglieder. Alles andere ist fix bzw. von der Genossenschaft nicht beeinflussbar. Das Ziel der Berechnung ist es, dass ich danach folgendes aussagen kann: wenn sich n ändert passiert _______ mit dem Preis für die Mitglieder. Mit Zahlen ist dies natürlich problemlos zu lösen, ich würde aber gerne eine allgemeine Lösung haben. Hast du eine Ahnung was ich hierfür jetzt als nächsten Schritt machen muss? LG Hannes
15.11.2012, 17:13	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Preis $\begin{align} p_m \end{align}$ kann nicht beeinflusst werden, ist aber variabel. Dann musst du ihn auch als variabel annehmen, ansonsten ist das Ganze unrealistisch. Ich möchte jetzt hier nicht über Ökonomen lästern (obwohl es dafür genug Stoff gäbe), aber einfach einen Preis in einem Modell als konstant annehmen, weil man ihn nicht beeinflussen kann, das würde ich nicht durchgehen lassen. Vielleicht stellst du erst mal ein realistischeres Modell auf? Die Zahl der Mitglieder der Genossenschaft ändert sich mit Sicherheit sehr viel langsamer als der Energiepreis an der Börse. Oder ist der Preis staatlich festgelegt und ändert sich nur langsam? Das wäre natürlich was anderes. Gruß Peter
15.11.2012, 17:31	alhonso	Auf diesen Beitrag antworten »
Also die Annahme eines konstanten Preises ist in diesem Fall nicht unrealistisch. Die Genossenschaften, mit denen ich mich befasse verkaufen die überschüssige Menge entweder an einen Trader oder an eine staatliche Institution, die noch bestimmte Kundengruppen im Energiemarkt beliefert. Dieser Preis wird meist im vorhinein ausgehandelt bzw. der Genossenschaft aufgedrückt und gilt für eine bestimmte Periode (meistens 1 Jahr). Gleichzeitig erfolgt die Produktion aus regenerativen Quellen, was auch einen festgesetzten Mindestpreis zur Folge hat. Ich könnte daher auch argumentieren, dass dieser Preis pm die Mindesteinnahme am Markt darstellt. Die Entscheidung ob neue Mitglieder aufgenommen werden wird ebenfalls bei der Jahresvollversammlung beschlossen. Dadurch ist die Annahme eines konstanten Preises in meinen Augen vertretbar, da es sich um den gleichen Zeitraum handelt. Dies ist sowieso nur die Grundfassung des Modelles. In weiterer Folge wird es noch um einige weitere Faktoren erweitert, bspw. verschiedene Verbräuche der einzelnen Mitglieder, Nichtmitgliedereinnahmen durch die Netznutzung anderer Stromhändler usw. Aber ich finde, dass ich erstmals verstehen muss, wie ich hier weiter vorgehe, bevor ich es weiter verkompliziere. Wenn ich jetzt schon einen schwankenden Preis pm annehme, dann muss ich mich jetzt schon mit Wahrscheinlichkeiten etc. auseinandersetzen, die mich anfangs eher beim Verständnis stören. Gruß Hannes
Anzeige

15.11.2012, 18:42	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
hi Hannes, ich forme mal die (Un-)Gleichungen etwas um ( $\begin{align} G_X \end{align}$ soll der am Markt erzielbare Gewinn für die Gesamtmenge sein, also $\begin{align} G_X := X p_m -C_X \overset{?}{>} 0 \end{align}$ ): $\begin{eqnarray} n x_1 \ge X - \frac{0.5 C_X}{ p_m} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n x_1 \ge 0.7 X \end{eqnarray}$ zusammengefasst $\begin{eqnarray} X \ge n x_1 \ge X\cdot \max\{ 1 - \frac{0.5 \cdot C_X}{ X p_m}, 0.7\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p_g = \frac{C_X -X p_m}{n x_1} +p_m = \frac{-G_X}{n x_1} +p_m \end{eqnarray}$ $\begin{align} p_g \end{align}$ ist eine monton steigende oder fallende Funktion in $\begin{align} n \end{align}$ . Die Ableitung zu bilden um ein Minimum zu finden, bringt also nichts. Das Minimum ist durch die Nebenbedingungen gegeben. Sind die Kosten $\begin{align} C_X \end{align}$ höher als der für die Gesamtmenge am Markt erzielbare Preis d.h. der am Markt erzielbare Gewinn wäre negativ ( $\begin{align} G_X < 0 \end{align}$ ), dann läge das Optimum für $\begin{align} n x_1 \end{align}$ bei $\begin{align} X \end{align}$ , also dem maximal möglichen. Ist der für die Gesamtmenge am Markt erzielbare Gewinn positiv ( $\begin{align} G_X > 0 \end{align}$ , was ja hoffentlich der Fall ist), dann wäre das Optimum für $\begin{align} n x_1 \end{align}$ bei dem Minimum dessen, was die Nebenbedingungen erfordern. Gruß Peter

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »