Abbildungsfrage

15.11.2012, 14:51

Abbildungen

Abbildungsfrage

Hallo,

das ist ein Aufgabenteil, den ich nicht verstehe. D.h. ich weiß nicht was mit den Bezeichnungen gemeint ist:

f ist eine Abbildung von A nach B. Zudem ist sie surjektiv (= Jedes Element von B wird mindestens von einem Element aus A abgebildet. Also die Wertemenge entspricht B. ?). Dazu gibt es nun wohl eine Abbildung g, für die gilt:
$\begin{eqnarray*} g : A=ker(f) &#8594; B mit g([a]) = f(a) \end{eqnarray*}$ .

Das muss ich dann zeigen. verwirrt

15.11.2012, 17:01

RavenOnJ

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was sind A und B, Ringe, Körper, Vektorräume? $\begin{align*} ker f \end{align*}$ ist der Kern von $\begin{align*} f \end{align*}$ , das sind alle Elemente von $\begin{align*} A \end{align*}$ , die auf die $\begin{align*} 0_B \end{align*}$ abgebildet werden.

15.11.2012, 17:59

Abbildungen

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Zitat:

Original von RavenOnJ
was sind A und B, Ringe, Körper, Vektorräume? $\begin{align*} ker f \end{align*}$ ist der Kern von $\begin{align*} f \end{align*}$ , das sind alle Elemente von $\begin{align*} A \end{align*}$ , die auf die $\begin{align*} 0_B \end{align*}$ abgebildet werden.

Verzeihung, A und B sind Mengen.

Und wie geht man vor, wenn man zeigen möchte, dass es zu jeder surjektiven Abbildung A->B eine solche "Kern"-Abbildung gibt?

Leider habe ich dazu keine Ansätze, sonst würde ich sie natürlich posten

15.11.2012, 18:51

RavenOnJ

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wenn das eine Menge ohne Struktur ist, was soll dann $\begin{align*} ker f \end{align*}$ bedeuten? verwirrt

Der Kern einer Abbilldung ist halt so definiert, wie ich geschrieben habe. Wenn die Menge B aber keine "0" bzw. ein "neutrales Element" hat, dann macht das keinen Sinn.

Vielleicht schaust du nochmal genauer nach, welche Struktur die Menge hat. Eine Gruppe sollte sie schon sein.

15.11.2012, 18:55

Abbildungen

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Gerne sende ich dir nochmal die genaue Aufgabe:

Zeigen Sie, dass jede surj. Abb. der Form $\begin{eqnarray*} f: A \to B \end{eqnarray*}$ eine eindeutige Abb. besitzt der Form $\begin{eqnarray*} g: A/ker(f) \to B mit g([a]) = f(a) \end{eqnarray*}$ .

Genau so steht es da smile

15.11.2012, 19:00

RavenOnJ

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das mag ja schon sein, dass das so da steht. Trotzdem hat B eine Struktur. Diese Vorinformation muss auch irgendwo stehen. Wenn B eine beliebige Menge ist, dann ist die Aussage sinnlos. Es dürfte auch eine Äquivalenzrelation auf A geben und die äquivalenten Elemente werden alle auf ein Element in B abgebildet, d.h. die Relation ist mit der Abbildung kompatibel. Deine Schreibweise [a] deutet darauf hin, dass dies Äquivalenzklassen sind.

16.11.2012, 14:02

Mystic

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Zitat:

Original von RavenOnJ
das mag ja schon sein, dass das so da steht. Trotzdem hat B eine Struktur. Diese Vorinformation muss auch irgendwo stehen. Wenn B eine beliebige Menge ist, dann ist die Aussage sinnlos.

Hm, wieso müssen A und B eine "Struktur" haben? Alles was du sagst, macht ja auch Sinn, wenn sie keine Struktur haben, also wirklich bloß Mengen sind...

Lustigerweise wird diesselbe Frage auch auf dem Matheplaneten gerade heftig diskutiert und auch dort haben die Leute z.T. erhebliche Probleme damit, dass die Famile der Operationen eben auch "leer" sein kann...

16.11.2012, 16:02

RavenOnJ

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was ist denn dann der Kern von f?

16.11.2012, 16:52

Mystic

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Der Kern einer Abbildung ist prinzipiell die Äquivalenzrelation, bei der zwei Elemente x und y genau dann in Relation stehen, wenn sie das gleiche Bild unter f haben...

Im Fall von Mengen mit "Struktur", wie du sagen würdest, kannn man diese Äquivalenzrelation dann oft genauer beschreiben und man benützt dann gewöhnlich Teile dieser Beschreibung für eine Alternativdefinition des Kerns... Bei Gruppen und strukturverträglichen Abbildungen wäre das z.B. die Klasse, in der das Einselement liegt...

16.11.2012, 17:07

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Mystic
Der Kern einer Abbildung ist prinzipiell die Äquivalenzrelation, bei der zwei Elemente x und y genau dann in Relation stehen, wenn sie das gleiche Bild unter f haben...

Im Fall von Mengen mit "Struktur", wie du sagen würdest, kannn man diese Äquivalenzrelation dann oft genauer beschreiben und man benützt dann gewöhnlich Teile dieser Beschreibung für eine Alternativdefinition des Kerns... Bei Gruppen und strukturverträglichen Abbildungen wäre das z.B. die Klasse, in der das Einselement liegt...

OK, also die Forderung, dass eine Äquivalenzrelation auf A existieren sollte (muss?), war richtig. Dass B auch eine Struktur haben muss, war zugegebenermaßen übers Ziel hinaus. Das erste Post war aber offensichtlich falsch:

Zitat:

Original von Abbildungen
Dazu gibt es nun wohl eine Abbildung g, für die gilt:
$\begin{eqnarray*} g : A=ker(f) &#8594; B mit g([a]) = f(a) \end{eqnarray*}$ .

Später kam dann die Präzisierung

Zitat:

Original von Abbildungen
Zeigen Sie, dass jede surj. Abb. der Form $\begin{eqnarray*} f: A \to B \end{eqnarray*}$ eine eindeutige Abb. besitzt der Form $\begin{eqnarray*} g: A/ker(f) \to B \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g([a]) = f(a) \end{eqnarray*}$ .

wobei die $\begin{align*} [a] \end{align*}$ offenbar die Äquivalenzklassen sind.

16.11.2012, 17:21

Cugu

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Die Abbildung $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ induziert die Aequivalenzrelation, es ist $\begin{eqnarray*} a\sim b \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} f(a)=f(b) \end{eqnarray*}$ ist.

16.11.2012, 21:42

Mystic

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@RavenOnJ

Sowohl A, als auch B sind zunächst noch total unstruktiert... Die Äquivalenzrelation auf A kommt erst im Verlaufe des Beweises ins Spiel, um damit die angegebene Behauptung beweisen zu können...

16.11.2012, 21:57

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Mystic
@RavenOnJ

Sowohl A, als auch B sind zunächst noch total unstruktiert... Die Äquivalenzrelation auf A kommt erst im Verlaufe des Beweises ins Spiel, um damit die angegebene Behauptung beweisen zu können...

mit der über die Abbildung induzierten Relation, wie Cugu schrieb ...

16.11.2012, 22:14

Cugu

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Das hatte übrigens Mystic vorher schon angemerkt, du hattest das nur überlesen, deswegen habe ich das noch mal wiederholt.

16.11.2012, 22:15

RavenOnJ

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ups, stimmt Augenzwinkern

19.11.2012, 09:29

RavenOnJ

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Satz und Beweis stammen aus Heinz Lüneburg:"Von Zahlen und Größen ..." Band 2, S. 408
hier

Satz: Es seien $\begin{align*} M \end{align*}$ und $\begin{align*} N \end{align*}$ Mengen und $\begin{align*} \sigma \end{align*}$ sei eine Abbildung von $\begin{align*} M \end{align*}$ in $\begin{align*} N \end{align*}$ . Es gibt dann genau eine Bijektion $\begin{align*} \tau \end{align*}$ von $\begin{align*} M/ker(\sigma) \end{align*}$ auf $\begin{align*} \sigma(M) \end{align*}$ mit $\begin{align*} \sigma = \tau\kappa_{ker(\sigma)} \end{align*}$

Beweis: Wir definieren die Relation $\begin{align*} \tau \end{align*}$ durch: Ist $\begin{align*} X\in M/ker(\sigma) \end{align*}$ und $\begin{align*} y\in N \end{align*}$ , so ist genau dann $\begin{align*} (X,y)\in \tau \end{align*}$ , wenn es ein $\begin{align*} x\in X \end{align*}$ gibt mit $\begin{align*} \sigma(x) = y \end{align*}$ . Wir zeigen, dass $\begin{align*} \tau \end{align*}$ eine Abbildung ist.
Ist $\begin{align*} X\in M/ker(\sigma) \end{align*}$ , so gibt es ein $\begin{align*} x\in X \end{align*}$ . Es folgt $\begin{align*} (X,\sigma(x)) \end{align*}$ . Ist weiterhin $\begin{align*} X\in M/ker(\sigma) \end{align*}$ und sind $\begin{align*} y,y' \in N \end{align*}$ und gilt $\begin{align*} (X,y), (X,y') \in \tau \end{align*}$ , so gibt es $\begin{align*} x, x'\in X \end{align*}$ mit $\begin{align*} \sigma(x) = y \end{align*}$ und $\begin{align*} \sigma(x')=y' \end{align*}$ . Es folgt $\begin{align*} x \;ker(sigma) \;x' \end{align*}$ und damit
$\begin{eqnarray*} y=\sigma(x) = \sigma(x')= y' \end{eqnarray*}$
Dies zeigt, dass $\begin{align*} \tau \end{align*}$ eine Abbildung ist.
Es sei $\begin{align*} y\in\sigma(M) \end{align*}$ . Es gibt dann ein $\begin{align*} x\in M \end{align*}$ mit $\begin{align*} y=\sigma(x) \end{align*}$ . Es folgt $\begin{align*} \tau\kappa_{ker(\sigma)}(x) = \sigma(x) = y \end{align*}$ und damit $\begin{align*} \tau\kappa_{ker(\sigma)}= \sigma \end{align*}$ . Folglich ist $\begin{align*} \tau \end{align*}$ eine Abbildung von $\begin{align*} M/ker(\sigma) \end{align*}$ auf $\begin{align*} \sigma(M) \end{align*}$ .
Es seien $\begin{align*} X,Y\in M/ker(\sigma) \end{align*}$ und es gelte $\begin{align*} \tau(X) = \tau(Y) \end{align*}$ . Es gibt dann ein $\begin{align*} x\in X \end{align*}$ und ein $\begin{align*} y\in Y \end{align*}$ mit $\begin{align*} \tau(X) = \sigma(x) \end{align*}$ und $\begin{align*} \tau(Y) = \sigma(y) \end{align*}$ . Es folgt $\begin{align*} \sigma(x) = \sigma(y) \end{align*}$ , d.h. $\begin{align*} x\; ker(\sigma)\; y \end{align*}$ und damit $\begin{align*} X=Y \end{align*}$ . Also ist $\begin{align*} \tau \end{align*}$ auch injektiv.
Es sei $\begin{align*} \rho \end{align*}$ eine zweite Abbildung von $\begin{align*} M/ker(\sigma) \end{align*}$ in $\begin{align*} N \end{align*}$ mit $\begin{align*} \sigma = \tau\rho_{ker(\sigma)} \end{align*}$ . Ist dann $\begin{align*} X\in M/ker(\sigma) \end{align*}$ , so folgt mit $\begin{align*} x\in X \end{align*}$ , dass
$\begin{eqnarray*} \tau(X) = \tau\kappa_{ker(\sigma)}(x) = \sigma(x) = \rho\kappa_{ker(\sigma)}(x) = \rho(X) \end{eqnarray*}$
ist. Folglich ist $\begin{align*} \tau = \rho \end{align*}$ .

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