Stetigkeit nachweisen, Operatornorm bestimmen

15.11.2012, 15:32	Ace Of Spades	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit nachweisen, Operatornorm bestimmen Aufgabe: Zeige, dass die Abbildung $\begin{eqnarray} T: (C([0,1],\mathbb{R}),\|\|.\|\|_\infty)\to (C([0,1],\mathbb{R}),\|\|.\|\|_\infty) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} (Tf)(x)=\int_0^1k(x,y)f(y)dy \end{eqnarray}$ für ein gegebenes $\begin{eqnarray} k \in C([0,1]\times[0,1],\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} k(x,y) \geq 0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x,y \in [0,1] \end{eqnarray}$ stetig ist und bestimme die Operatornorm. Meine Lösung: k nimmt als stetige Funktion auf einer kompakten Menge ein Maximum M an, d.h. es gilt $\begin{eqnarray} \|k(x,y)\| \leq M \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} (x,y) \in [0,1]\times[0,1] \end{eqnarray}$ . Damit folgt $\begin{eqnarray} \|\|T\|\|=sup_{\|\|f\|\|_\infty \leq 1}\|\|Tf\|\|_\infty=sup_{\|\|f\|\|\infty \leq 1} sup_{x \in [0,1]} \|\int_0^1k(x,y)f(y)dy\| \leq M1=M \end{eqnarray*}$ Stimmt das so? Und wenn ja, wie bestimme ich nun die Operatornorm?

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