Lineare Unabhängigkeit

15.11.2012, 17:14	Hennerer	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Unabhängigkeit Meine Frage: Hallo Leute, mir sind zwei Definitionen von linearer Unabhängigkeit unendlich großer Mengen im Sinne der linearen Algebra bekannt. Ich möchte wissen ob diese beiden wirklich äquivalent sind. Sei also $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ -Vektorraum und $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ eine unendlich große Teilmenge (meinetwegen abzählbar) von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ . Dann sind die Definitionen, die mir bekannt sind: $\begin{eqnarray} (1) \qquad 0=\sum_{x \in X} k_xx \textrm{ mit } k_x \in K \quad \Longrightarrow \quad k_x=0 \textrm{ für alle } x\in X \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (2) \qquad \forall \, T \subseteq X \textrm{ mit } \|T\|\in \mathbb{N} \ \forall \, (x_1, \ldots , x_{\|T\|}) \in T^{\|T\|}: \left( 0=\sum_{i=1}^{\|T\|} k_ix_i \textrm{ mit } k_i \in K \quad \Longrightarrow \quad k_i=0 \textrm{ für alle } i \in \{1, \ldots , \|T\| \} \right) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Dass aus (1) Aussage (2) folgt ist klar. Aber die Umkehrung nicht. Könnt ihr mir helfen? LG

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