Inverse einer symmetrischen Matrix mal Faktor

15.11.2012, 18:18	pusekuchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Inverse einer symmetrischen Matrix mal Faktor Meine Frage: Ich habe eine symmetrische Matrix $\begin{eqnarray} V_{ij} \end{eqnarray}$ , welche mit einem Korrekturfaktor $\begin{eqnarray} c_i \end{eqnarray}$ multipliziert wird. Die Frage ist, ob sich dieser Faktor bei der Invertierung herauszieht. Es gilt also zu zeigen: $\begin{eqnarray} ( c_{i} c_{j} V_{ij})^{-1} = \frac{1}{c_ic_j}V_{ij}^{-1} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Leider habe ich bisher nichts dazu gefunden. Wenn die Matrix diagonal ist, ist das Problem trivial. Im Fall einer 2x2 Matrix kann man es auch einfach zeigen. Mein Gefuehl sagt mir, dass obige Gleichung stimmen muesste (wenn die Matrix diagonal ist), allerdings kann ich es nicht allgemein zeigen.
15.11.2012, 21:21	weisbrot	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Inverse einer symmetrischen Matrix mal Faktor wenn du die inverse von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ kennst (nennen wir sie $\begin{eqnarray} A^{-1} \end{eqnarray}$ ), dann kannst du auch sofort sehen, dass für $\begin{eqnarray} c\neq 0 \end{eqnarray}$ die inverse von $\begin{eqnarray} c A \end{eqnarray}$ gleich $\begin{eqnarray} \frac 1 c A^{-1} \end{eqnarray}$ ist, und zwar einfach indem du die entspr. matrix mit ihrer (möglichen.) inversen multiplizierst, und siehst dass 1 rauskommt. lg
15.11.2012, 23:28	pusekuchen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Inverse einer symmetrischen Matrix mal Faktor Danke fuer die Antwort, auch wenn ich die Loesung nicht nachvollziehen kann, da ja c keine Konstante ist, sondern ein Vektor der Komponentenweise auf die Elemente von V multipliziert wird. Nach ordentlichem Umschreiben laesst sich das Problem wie folgt loesen: $\begin{eqnarray} c_i c_j V_{ij} \end{eqnarray}$ laesst sich in ordentlicher Matrix notation schreiben als $\begin{eqnarray} CVC \end{eqnarray}$ , wobei C eine diagonalmatrix mit den Faktoren c_i in der Diagnoalen ist. Dann folgt natuerlich: $\begin{eqnarray} (CVC)^{-1}=C^{-1}V^{-1}C^{-1} \end{eqnarray}$ C hat nun 1/c_i in den Diagonalelementen und daher laesst sich das in Komponentenschreibweise darstellen als $\begin{eqnarray} \frac{1}{c_ic_j}V_{ij} \end{eqnarray}$
16.11.2012, 22:14	weisbrot	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Inverse einer symmetrischen Matrix mal Faktor aha, es gilt also $\begin{eqnarray} V' = [c_i c_j v_{i, j}]_{i, j} \end{eqnarray}$ zu invertieren, daas habe ich nicht gesehen. also von mir aus geht das dann so in ordnung. trotzdem: wenn du zeigen willst dass etwas von etwas die inverse ist, ist oft der einfachste weg: einfach von rechts/ links multiplizieren - bzw was auch immer die verknüpfung ist diese anwenden - und hoffen dass die 1 rauskommt. lg

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