Differentialgleichung

15.11.2012, 19:42

MatheMathosi

Differentialgleichung

Meine Frage:
Hi !

Bestimmen Sie alle Lösungen der Differentialgleichung

$\begin{eqnarray*} y'(t)=y(t)^{n} \ \ (n\in \mathbb{N}) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Eine mögliche Lösung ist hier ja

$\begin{eqnarray*} y(t)=0 \end{eqnarray*}$

Dann würde ich einfach mal integrieren und komme auf

$\begin{eqnarray*} \int y'(t)=\int y(t)^{n} \ \Leftrightarrow \ y(t)=\int y(t)^{n} \end{eqnarray*}$

weiss jetzt aber nicht wie ich die rechte Seite integrieren soll. Habe auch schon versucht mit den weiteren Ableitungen von y auf irgendeine Regelmäßigkeit zu kommen, bisher aber ohne Erfolg.

Vielen Dank für eure Hilfe.

15.11.2012, 20:25

Helferlein

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Wolltest Du auf Picard-Lindelöf hinaus? Ansonsten ist Integrieren erst einmal keine gute Idee.
Du hast eine DGL vorliegen, die mit Trennung der Variablen zu lösen ist.

15.11.2012, 20:28

RavenOnJ

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Das ist eine Bernoullische DGl. Forsch mal nach dem Ansatz dafür.

Gruß
Peter

15.11.2012, 21:29

MatheMathosi

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@RavenOnJ

Nein ist es nicht, vllt. hätte ich es deutlicher schreiben sollen:
Oder doch bin mir gerade nicht sicher verwirrt

$\begin{eqnarray*} (y(t))^{n}=y(t)^{n} \end{eqnarray*}$

ich meinte nicht $\begin{eqnarray*} y^{n}(t) \end{eqnarray*}$

@Helferlein

Wie mache ich das aber ohne Anfangswertproblem ?

$\begin{eqnarray*} y'(t)=y(t)^{n}\cdot 1 \ \Leftrightarrow \ \frac{y'(t)}{y(t)^{n}}=1 \ \Leftrightarrow \ \int_{t_{0}}^{t} \frac{y'(\tau)}{y(\tau)^{n}}d\tau=\int_{t_{0}}^{t}1d\tau \ \Leftrightarrow \ \int_{y(t_{0})}^{y(t)} \frac{1}{\xi^{n}}d\xi=t-t_{0} \end{eqnarray*}$

Die Stammfunktion ist nun $\begin{eqnarray*} \frac{\xi^{1-n}}{1-n} \end{eqnarray*}$
Ich weiss aber doch nicht, was nun $\begin{eqnarray*} y(t_{0}) \end{eqnarray*}$ sein soll ???

15.11.2012, 21:40

Helferlein

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Wenn Du kein Anfangswertproblem hast, dann ist $\begin{eqnarray*} y(t_0) \end{eqnarray*}$ irgendeine (unbekannte) Konstante, wo ist das Problem?

15.11.2012, 21:52

MatheMathosi

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Ja gut dann bekomme ich

$\begin{eqnarray*} \frac{y(t)^{1-n}}{1-n}-\frac{y(t_{0})^{1-n}}{1-n}=t-t_{0} \ \Leftrightarrow \ y(t)^{1-n}=(t-t_{0})(1-n)+y(t_{0})^{1-n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(t)=(t(1-n)+c)^{\frac{1}{1-n}} \end{eqnarray*}$

Stimmt das nun so ?

15.11.2012, 21:54

Helferlein

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Leite es doch mal ab und schau, ob es hinkommt Augenzwinkern

15.11.2012, 21:59

MatheMathosi

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Ok passt.

Dann mal vielen Dank

15.11.2012, 22:02

MatheMathosi

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Was ist denn nun bei n=1 ?

Da gilt das ja nicht. Hab ich dann einfach die e-Funktion oder was ?

15.11.2012, 22:10

RavenOnJ

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Zitat:

Original von MatheMathosi
Ja gut dann bekomme ich

$\begin{eqnarray*} \frac{y(t)^{1-n}}{1-n}-\frac{y(t_{0})^{1-n}}{1-n}=t-t_{0} \ \Leftrightarrow \ y(t)^{1-n}=(t-t_{0})(1-n)+y(t_{0})^{1-n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(t)=(t(1-n)+c)^{\frac{1}{1-n}} \end{eqnarray*}$

Stimmt das nun so ?

also doch Bernoulli? verwirrt

15.11.2012, 22:11

RavenOnJ

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Zitat:

Original von MatheMathosi
@RavenOnJ

Nein ist es nicht, vllt. hätte ich es deutlicher schreiben sollen:
Oder doch bin mir gerade nicht sicher verwirrt

Ich bin mir halt sicher! Ansatz: $\begin{align*} z = y^{1-n} \end{align*}$

Gruß
Peter

15.11.2012, 22:12

RavenOnJ

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Zitat:

Original von MatheMathosi
Was ist denn nun bei n=1 ?

Da gilt das ja nicht. Hab ich dann einfach die e-Funktion oder was ?

exakt

15.11.2012, 22:17

RavenOnJ

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Zitat:

Original von MatheMathosi

$\begin{eqnarray*} (y(t))^{n}=y(t)^{n} \end{eqnarray*}$

ich meinte nicht $\begin{eqnarray*} y^{n}(t) \end{eqnarray*}$

du meinst doch die n-te Potenz von y, oder verstehe ich dich falsch?

15.11.2012, 22:24

MatheMathosi

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Ok gut ! Ja hab die n-te Potenz gemeint, dachte bei Bernoulli soll es die n-te Ableitung sein, ist es ja nicht.

Wenn ich das mit Bernoulli mache bekomme ich natürlich das gleiche smile

.

Super Danke, wieder ein wenig schlauer geworden.

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