Konvergenz und Wert einer Reihe

15.11.2012, 19:58

Adeaphon

Konvergenz und Wert einer Reihe

Hallo,
ich möchte den Wert dieser Reihe ermitteln:

http://666kb.com/i/c904bzis9qpxz9mr8.tiff

Ich weiß, dass er 10/9 ist. Mit der 1/1-q komme ich hier aber nicht, weit, wegen dem zusätzlichen k. Wie gehe ich bei dieser Reihe vor, um den Wert zu ermitteln?

15.11.2012, 20:39

Bronco Bamma

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz und Wert einer Reihe

Zitat:

Original von Adeaphon
Hallo,
ich möchte den Wert dieser Reihe ermitteln:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty n\left(\frac 25\right)^n. \end{eqnarray*}$

...Wie gehe ich bei dieser Reihe vor, um den Wert zu ermitteln?

Kommt drauf an.
Du könntest mit dem Cauchyprodukt oder per gliedweiser Differenzierung vorgehen.

15.11.2012, 20:58

Adeaphon

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz und Wert einer Reihe

Zitat:

Original von Bronco Bamma
[quote]Original von Adeaphon
Kommt drauf an.
Du könntest mit dem Cauchyprodukt oder per gliedweiser Differenzierung vorgehen.

Aber das Cauchy-Produkt bringt mir doch in dem Sinne auch nicht viel,

Wende ich es an erhalte ich:
((2/5)^n)*n*(2/5)^(k-n)*(k-n)

Bzw. dies:

http://666kb.com/i/c905wl9uhuytp34cm.tiff

Und daraus erfahre ich auch keinen Wert, oder habe ich einen Fehler gemacht?

15.11.2012, 21:03

Bronco Bamma

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz und Wert einer Reihe
Geh lieber von etwas bekanntem aus und berechne das Cauchyprodukt der geom. Reihe, also:

$\begin{eqnarray*} \left(\sum_{n=0}^\infty x^n\right)^2=\ldots,~|x|<1. \end{eqnarray*}$

15.11.2012, 21:44

Adeaphon

Auf diesen Beitrag antworten »

Nirgends finde ich wirklich einmal eine Beispielrechnung für so ein Cauchy-Produkt, von daher weiß ich auch nicht, ob ich in meiner Überlegung einen Fehler gemacht habe.

15.11.2012, 22:12

Bronco Bamma

Auf diesen Beitrag antworten »

Was suchst Du denn noch?
Du darfst das auch ruhig selbst ausrechnen.

Solltest Du die Cauchy'sche Produktformel grad nicht zur Hand (oder im Kopf) haben, dann versuchs doch mal bei Wikipedia oder bemüh die Boardsuche.

Schreib's einfach mal auf, so weit wie Du kommst, und dann sehen wir schon wo's klemmt.

15.11.2012, 22:44

Adeaphon

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erstmal für deine Mühen! smile

Ich habe es noch einmal aufgeschrieben:

http://666kb.com/i/c908ku6jh6nuocvr8.jpg

Ich habe nun wieder eine geometrische Folge raus.
Nur was mache ich damit weiter?

15.11.2012, 23:04

Bronco Bamma

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin gleich weg also kürz ich mal ab. Sei $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$ dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac 1{(1-x)^2}=\left(\sum_{n=0}^\infty x^n\right)^2=\sum_{n=0}^\infty x^n\cdot\sum_{n=0}^\infty x^n=\sum_{n=0}^\infty\left(\sum_{k=0}^n x^kx^{n-k}\right)=\sum_{n=0}^\infty(n+1)x^n=\sum_{n=0}^\infty nx^n+\sum_{n=0}^\infty x^n=\sum_{n=0}^\infty nx^n+\frac 1{1-x} \end{eqnarray*}$

Also gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac 1{(1-x)^2}=\sum_{n=0}^\infty nx^n+\frac 1{1-x} \end{eqnarray*}$

und damit sollte nun allles klar sein hoffe ich!?!

Ich bin mir übrigens sicher, dass dies auch via Boardsuche (Stichwort Cauchyprodukt) zu finden gewesen wäre - aber simples Befolgen der im Laufe des Threads gegebenen Tipps und einfach mal was versuchen hätts auch getan.

Neue Frage »

Antworten »

Konvergenz und Wert einer Reihe

Verwandte Themen