Beweis das eine Menge von Matrizen ein Körper ist.

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Tenacious Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis das eine Menge von Matrizen ein Körper ist.
Hallo,

es geht um folgende Aufgabe:

"Gegeben sei eine Menge von Matrizen mit
Man zeige: mit Matrizenaddition bzw. -multiplikation als Addition bzw. Multiplikation ist ein Körper."


Meine Idee:

Ich muss natürlich die Körperaxiome nachweisen. Also hab ich erstmal alle aufgeschrieben und wollte die aussortieren die sowieso allgemein für beliebige Matrizen gelten (wo ich mir allerdings nicht ganz sicher bin):

Seien Matrizen der Form mit Einträgen aus . Dann gelten:











Nun würde ich sagen dass A1, A2, A3 und M3 für beliebige Matrizen gelten.
Bin ich bis dahin erstmal auf dem richtigen Weg?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Du bist auf dem richtigen Weg, aber das war ja noch der flache Teil, A4 gehört auch noch dazu. Ab da wird es steiler.
Tenacious Auf diesen Beitrag antworten »

Also sind A1, A2, A3 und M3 auch einzigen die für beliebige Matrizen gelten?

Edit: Ah, eben erst gesehen. Also muss ich quasi nur M1, M2, M4 und D beweisen.

Meinst du mit "steil" schwer oder aufwendig ;D ?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das Assoziativgesetz M2 und das Distributivgesetz D gelten auch für beliebige Matrizen aus dem Raum. M1 offensichtlich nicht, M4 nur für invertierbare Matrizen. De Raum der nxn-Matrizen ist kein Körper.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tenacious

Meinst du mit "steil" schwer oder aufwendig ;D ?


das ist alles relativ Augenzwinkern
Tenacious Auf diesen Beitrag antworten »

Aber ist doch kein Raum oder?
 
 
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tenacious
Aber ist doch kein Raum oder?


Was ist schon ein Raum? Dieser Begriff ist sehr allgemein. ist der Restklassenring , oder täusch ich mich?
Tenacious Auf diesen Beitrag antworten »

Ja mit ist gemeint.

Aber nun hast du mich komplett verwirrt verwirrt
Welche Axiome muss ich nun noch genau zeigen?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt? Entschuldigung.

Die Körperaxiome natürlich. Und zwar die, die nicht für alle nxn-Matrizen gelten. Diese kannst du natürlich voraussetzen - nehme ich mal an (das kann nur dein Prof beurteilen).
Tenacious Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RavenOnJ
Und zwar die, die nicht für alle nxn-Matrizen gelten.


Also konkret: M1, M2, M4 und D ?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tenacious
Zitat:
Original von RavenOnJ
Und zwar die, die nicht für alle nxn-Matrizen gelten.


Also konkret: M1, M2, M4 und D ?


genau, denn ich nehme mal an, die anderen musst du nicht beweisen.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Gesetze, die bereits im vollem Matrizenring aller 2 x 2 - Matrizen über gelten, brauchen natürlich nicht mehr bewiesen werden... Dafür fehlt der Nachweis für die Abgeschlossenheit bez. Subtraktion, Division (außer durch Nullmatrix), Kommutativität der Multiplikation...
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

also M1 und M4. A4, M2 und D folgen doch aus den Rechenvorschriften für Matrizen in Verbindung mit den Körpereigenschaften von .
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Für mich wäre es hier das einfachste, einfach die Additions- und Multiplikationstafel für diese 4 Matrizen aufzustellen. Wenn sich dabei herausstellt, dass die Addition und Multiplikation abgeschlossen ist, dass es jeweils ein neutrales Eleemnt bez. Addition und Multiplikation gibt, ferner bez. Addition jede Matrix selbstinvers ist und bezüglich Multiplikation jede Matrix außer der Nullmatrix invertierbar, dann kann es nur mehr der Körper mit 4 Elementen sein, der ja durch genau diese Eigenschaften schon eindeutig bestimmt ist...
Tenacious Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mystic
Für mich wäre es hier das einfachste, einfach die Additions- und Multiplikationstafel für diese 4 Matrizen aufzustellen.


Das klingt im nachhinein nach weniger Aufwand...aber jetzt ist es eh schon zu spät Augenzwinkern
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