Reelle Punktfolgen

15.11.2012, 21:13

MatheNoobii

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Reelle Punktfolgen

Ich habe bei folgenden Aufgaben keine Ahnung wie ich vorgehen soll, wie ich beweisen soll und ich versteh nicht mal ob es stimmt...Bin völlig planlos

Seien $\begin{eqnarray*} (a_{k})_{k \in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (b_{k})_{k\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ reelle Punktfolgen. Beweisen oder widerlegen Sie:

a) Sind $\begin{eqnarray*} (a_{k})_{k \in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (a_kb_{k})_{k\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ konvergent, so ist auch $\begin{eqnarray*} (b_{k})_{k \in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ konvergent.

b) Ist $\begin{eqnarray*} (a_{k})_{k \in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ beschränkt und $\begin{eqnarray*} (b_{k})_{k\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge, so ist auch $\begin{eqnarray*} (a_kb_{k})_{k\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge.

c) Sind $\begin{eqnarray*} (a_{k})_{k \in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (b_{k})_{k\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ konvergent und gilt $\begin{eqnarray*} a_k < b_k \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , so folgt $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } a_k < \lim_{k \to \infty}b_k \end{eqnarray*}$

15.11.2012, 21:33

Mulder

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RE: Reelle Punktfolgen
Für (a) überleg dir ein konkretes Gegenbeispiel.

Für (b) schreib dir erstmal hin, was Beschränktheit genau bedeutet. Um zu zeigen, dass an*bn Nullfolge ist, stur über die Definition gehen. Wähl das Epsilon passend, dann kannst du leicht abschätzen.

Bei (c) wieder Gegenbeispiel suchen.

15.11.2012, 22:08

MatheNoobii

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RE: Reelle Punktfolgen
Okay erstmal die a)

Ich hab wirklich keine Ahnung was ich machen soll, was wäre ein Gegenbeispiel?

15.11.2012, 22:14

Mulder

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RE: Reelle Punktfolgen

Zitat:

Original von MatheNoobii
Ich hab wirklich keine Ahnung was ich machen soll [...]

Naja, überlegen und vielleicht auch mal ein bisschen rumprobieren. Das muss man gelegentlich.

Du sollst dir zwei Folgen $\begin{eqnarray*} a_k, b_k \end{eqnarray*}$ überlegen, so dass $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ konvergent ist und auch $\begin{eqnarray*} a_k \cdot b_k \end{eqnarray*}$ konvergent ist, aber $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ eben nicht konvergent.

Da gibt es ganz leichte Beispiele, die man da suchen könnte.

15.11.2012, 22:20

MatheNoobii

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RE: Reelle Punktfolgen
Okay ich probier mal bisschen und versuch es zu verstehen...

15.11.2012, 22:29

MatheNoobii

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RE: Reelle Punktfolgen
Hm, würde das gehen?

$\begin{eqnarray*} a_k=\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ nähert sich 0 und $\begin{eqnarray*} a_k*b_k= \frac{1}{k}*2k \end{eqnarray*}$ nähert sich 2?

=> $\begin{eqnarray*} b_k = 2k \end{eqnarray*}$ (nicht konvergent, also divergent, da sie sich keinem Grenzwert nähert?

Stimmt das?

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15.11.2012, 22:34

Mulder

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RE: Reelle Punktfolgen
Ja, das geht. Freude

Freude

15.11.2012, 22:45

MatheNoobii

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RE: Reelle Punktfolgen
Geil Big Laugh

Big Laugh

War ja einfach, wenn man es mal halb verstanden hat, ich brauch immer diese Denkanstöße smile

smile

also bei der b) hab ich jetzt mehr probleme:

also die frage ist erstmal, wann ist $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ beschränkt:

Hm, wenn der Grad von k im Nenner größer ist als im Zähler, oder?

15.11.2012, 22:50

Mulder

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RE: Reelle Punktfolgen

Zitat:

Original von MatheNoobii
Hm, wenn der Grad von k im Nenner größer ist als im Zähler, oder?

Das ist ja Unsinn, du weißt doch rein gar nichts über $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ , wer sagt denn, dass $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ die Gestalt einer "rationalen Funktion" haben muss?

Du weißt nur: $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ ist beschränkt. Folglich gibt es ein $\begin{eqnarray*} c \geq 0 \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} |a_k| \leq c \, \forall k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Damit kannst du dann weiter arbeiten.

Erstmal alles, was man weiß, formal sauber hinschreiben, dann ist man schon zu 70% fertig.

15.11.2012, 22:52

MatheNoobii

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RE: Reelle Punktfolgen
Beispiel: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ aber das wäre auch gleichzeitig eine Nullfolge, weil es gegen 0 konvergiert, ein beispiel für eine nicht konvergente Nullfolge wäre

$\begin{eqnarray*} \frac{*\frac{1}{k} }{4-\frac{1}{k} } \end{eqnarray*}$

15.11.2012, 22:54

MatheNoobii

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RE: Reelle Punktfolgen
Okay dann liege ich komplett falsch. So etwas habe ich z.B. noch garnicht verstanden, aber hoffentlich gleich smile

smile

Ich überlege

15.11.2012, 22:56

MatheNoobii

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RE: Reelle Punktfolgen
Ah und dein c ist der Grenzwert oder? Genau, wir haben dafür immer ein µ verwendet...Ich will nur sichergehen Big Laugh

Big Laugh

15.11.2012, 22:59

Mulder

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RE: Reelle Punktfolgen

Zitat:

Original von MatheNoobii
ein beispiel für eine nicht konvergente Nullfolge wäre

$\begin{eqnarray*} \frac{*\frac{1}{k} }{4-\frac{1}{k} } \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, dir wird bei erneutem Lesen klar, dass das Unsinn ist, was da steht?

Zitat:

Original von MatheNoobii
Ah und dein c ist der Grenzwert oder?

Natürlich nicht! geschockt

geschockt

Wir wissen doch nur, dass $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ beschränkt ist. Das bedeutet noch lange nicht, dass $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ konvergent ist. Das c ist eine obere und untere Schranke, das heißt, $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ ist betragsmäßig immer kleiner gleich c. Das ist einfach nur die Definition einer beschränkten Folge.

15.11.2012, 23:06

MatheNoobii

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RE: Reelle Punktfolgen
Ja das war Unsinn, das hab ich gemerkt!

Ups stimmt, das leuchtet mir jetzt auch ein, bloß weiß ich trotzdem nicht wie ich weiterrechnen muss unglücklich

unglücklich

15.11.2012, 23:23

Mulder

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RE: Reelle Punktfolgen
Was heißt "rechnen"? Wir rechnen gar nichts, wir schreiben nur auf, was wir wissen.

$\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ ist Nullfolge. Was heißt das per Definition? (ich meine den Kram mit Epsilon)

15.11.2012, 23:32

MatheNoobii

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RE: Reelle Punktfolgen
Meint ich ja,

$\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ ist eine Nullfolge, d.h. sie ist beschränkt und sie konvergiert gegen 0, d.h. 0< $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ <µ ?

15.11.2012, 23:32

MatheNoobii

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RE: Reelle Punktfolgen
Das soll eigentlich ein Epsilon sein...

15.11.2012, 23:40

Mulder

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RE: Reelle Punktfolgen

Zitat:

Original von MatheNoobii
$\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ ist eine Nullfolge, d.h. sie ist beschränkt und sie konvergiert gegen 0, d.h. 0< $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ <µ ?

Das ist wieder alles Quatsch. Das stimmt nicht, was du da schreibst. Warum sollten z.B. alle Folgenglieder positiv sein? Das ist nirgends vorausgesetzt worden.

Ich meinte die Definition einer konvergenten Folge (bzw. einer Nullfolge in diesem Fall):

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} b_k = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \forall \varepsilon>0 \; \exists N\in\mathbb{N} \; \forall k \ge N: \;\left|a_k \right|<\varepsilon \end{eqnarray*}$

Das kann man benutzen. Denn insbesondere gilt damit auch:
$\begin{eqnarray*} \exists N\in\mathbb{N} \; \forall k \ge N: \;\left|b_k \right|< \frac{\varepsilon}{c} \end{eqnarray*}$

(und damit meine ich das c, das eine (betragmäßige) Schranke der Folge a_n darstellt)

15.11.2012, 23:40

MatheNoobii

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RE: Reelle Punktfolgen
Die Folge $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ heißt Nullfolge, falls $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} b_k= 0 \end{eqnarray*}$

15.11.2012, 23:42

MatheNoobii

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RE: Reelle Punktfolgen
Ja man merkt, ich habe ca. noch nichts von all dem verstanden, aber so langsam ergibt das für mich Sinn!

15.11.2012, 23:54

MatheNoobii

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RE: Reelle Punktfolgen
Nun komme ich wieder nicht weiter. Ich weiß bei dieser Aufgabe mein Ziel nicht. Ich habe jetzt 2 Definition, aber ich weiß nicht was ich mit denen anstellen soll?

16.11.2012, 00:02

Mulder

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RE: Reelle Punktfolgen
Was dein Ziel ist, steht doch in der Aufgabe: Zeigen, dass $\begin{eqnarray*} a_k \cdot b_k \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist! Aus den vorherigen Definitionen wissen wir:

$\begin{eqnarray*} \exists N\in\mathbb{N} \; \forall k \ge N: |a_k \cdot b_k| \leq c \cdot |b_k| < c \cdot \frac{\varepsilon}{c} = \varepsilon \end{eqnarray*}$

Und fertig. Das war zu beweisen. Anhand der vorherigen Definitionen konnten wir (bzw. konnte ich, sollte ich wohl sagen) diese Abschätzungen machen)

$\begin{eqnarray*} a_k \cdot b_k \end{eqnarray*}$ ist also eine Nullfolge.

Der "Trick" bestand hier eben darin, aus dem Epsilon bei der Folge b_k einfach ein epsilon/c zu machen, damit sich das c wegkürzt.

Ich hab nicht den Eindruck, dass du da schon wirklich durchgestiegen bist. Lass dir Zeit, das nachzuvollziehen.

16.11.2012, 00:13

MatheNoobii

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RE: Reelle Punktfolgen
Okay! Erst einmal Dankeschön für deine große Mühe!
Ich werd mir das jetzt alles einmal in Ruhe anschauen, aber jetzt da ich mal eine Musterlösung habe und weiß wie das funktioniert, ist das denk ich verständlicher für mich!

Vielen Dank nochmal!

16.11.2012, 00:19

Mulder

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RE: Reelle Punktfolgen
Hast du dir denn bei der (c) schon was überlegt? Ist eigentlich genau so einfach wie die (a).

16.11.2012, 00:26

MatheNoobii

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RE: Reelle Punktfolgen
Jaa habe überlegt, aber ich komm zu keinem Beispiel, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } a_k > \lim_{k \to \infty } b_k \end{eqnarray*}$

16.11.2012, 00:32

MatheNoobii

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RE: Reelle Punktfolgen
Denke ich denn überhaupt richtig, wenn ich sage:

$\begin{eqnarray*} a_k = 2 + \frac{1}{k}<br /> <br /> b_k = 1 + \frac{10}{k} \end{eqnarray*}$

Für k = 1 ist $\begin{eqnarray*} b_k > a_k \end{eqnarray*}$ , für 2 auch, aber z.B. für 100 nicht mehr, aber wenn der Limes von $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ irgendwann kleiner sein soll, muss $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ iwann größer sein als $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ ? [/latex]

16.11.2012, 00:34

MatheNoobii

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RE: Reelle Punktfolgen
Also wenn $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ nicht größer sein darf als $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ , wie kann dann der Limes von $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ größer sein als der Limes von $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$

16.11.2012, 00:39

Mulder

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RE: Reelle Punktfolgen
Jetzt orientiere dich mal bitte an den Vorgaben aus der Aufgabenstellung, damit wir nicht durcheinander kommen:

Zitat:

Original von MatheNoobii
c) Sind $\begin{eqnarray*} (a_{k})_{k \in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (b_{k})_{k\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ konvergent und gilt $\begin{eqnarray*} a_k < b_k \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , so folgt $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } a_k < \lim_{k \to \infty}b_k \end{eqnarray*}$

Zu suchen sind also zwei Folgen $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ , so dass zwar $\begin{eqnarray*} a_k < b_k \end{eqnarray*}$ für alle k, der Grentwert der Folge $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ aber nicht echt kleiner als der Grenzwert der Folge $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ ist.

Du machst es dir schon wieder viel zu kompliziert. Die beiden Folgen kann man sich extrem simpel halten. Versuch, dir zwei Folgen $\begin{eqnarray*} a_k,b_k \end{eqnarray*}$ mit gleichem Grenzwert zu basteln, wo aber trotzdem für jedes feste k gilt, dass $\begin{eqnarray*} a_k < b_k \end{eqnarray*}$ ist.

16.11.2012, 00:46

MatheNoobii

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RE: Reelle Punktfolgen
Sie dürfen den gleichen Grenzwert haben? Ach natürlich! Lim ak < Lim bk bedeutet ja, dass sie nicht gleich sein dürfen!

$\begin{eqnarray*} a_k= \frac{1}{k^{2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_k= \frac{2}{k } \end{eqnarray*}$

Jetzt haben beide den Grenzwert 0, aber $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ stets kleiner als $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$

16.11.2012, 00:48

Mulder

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RE: Reelle Punktfolgen
Edit: Sorry, ich hatte das falsch gelesen.

Ja, ist okay.

Meine erste Idee war $\begin{eqnarray*} a_k = \frac{1}{2k} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_k = \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

Wie gesagt, man kann sich's möglichst einfach halten. Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.11.2012, 00:49

MatheNoobii

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RE: Reelle Punktfolgen
Hm, wo ist da das Problem?

16.11.2012, 00:50

MatheNoobii

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RE: Reelle Punktfolgen
Oke, also passt das? smile

smile

16.11.2012, 00:52

MatheNoobii

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RE: Reelle Punktfolgen
Stimmt, so ist es natürlich noch einfacher Big Laugh

Big Laugh

aber ich war so aufgeregt die Aufgabe endlich zu lösen, dass ich es mit dem Grad von k gemacht habe.

Vielen Dank nochmal für deine Mühe! smile

smile

16.11.2012, 00:53

Mulder

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RE: Reelle Punktfolgen

Zitat:

Original von MatheNoobii
[...] aber ich war so aufgeregt die Aufgabe endlich zu lösen, dass ich es mit dem Grad von k gemacht habe.

Ist ja auch wohl in Ordnung. Hauptsache, man findet ein Gegenbeispiel.

Wink

Wink

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